物理运动方程

Posted 2022-12-05 Jie Qiao

文章目录

• 广义坐标
• 最小作用量原理
• 伽利略相对性原理
• 自由质点的拉格朗日函数
• 质点系的拉格朗日函数
• 非惯性参考系中的运动
• 参考资料

本文是物理力学中的运动方程的一个笔记，大部分内容来源于朗道理论物理第一卷力学，在原本基础上加了些注释和详细推导，仅供参考。

广义坐标

一个坐标，我们可以简单的用X,Y,Z来表示质点的位置，然后用$\dot{X},\dot{Y},\dot{Z}$分别表示各个维度的速度，即

$$\dot{X}=\frac{dX}{dt}$$

但是我们研究运动的时候有时候，坐标的位置的运动很可能是耦合的，比如钟摆运动，而为了处理这一类耦合，我们就不得不做出一些约束，比如类似这样的$x^2+y^2=1$在圆周上运动。显然用转角的角度还有钟摆长度来刻画这个运动的坐标是一种更为方便的方法，且不需要额外的约束。所以为了研究这一类问题，我们可以定义出一种广义坐标，用于刻画位置的任意具有s个自由度的广义坐标$q_1,...,q_s$,且定义$\dot{q}$为广义速度。

最小作用量原理

一个力学系统可以用一个确定的函数表征：

$$L(q_1,...,q_s,{\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_s,t)$$

可以看到这个只有位置，速度而不含加速度等等，揭示了一个物理事实，力学状态是完全由坐标和速度决定的。这里L称为拉格朗日函数。

我们会在后文直接推导出L的具体定义，但这里剧透比较重要的几个结论，首先L一般定义为$L=T-U$，其中$T$称为动能$U$称为势能。此外，或许有人会疑惑为什么L不需要考虑加速度呢？后文会指出一个事实，考虑一个经典的牛顿定律$m\mathbf{a}=\mathbf{F}$，力其实是定义为$\mathbf{F}=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{q}}$，他是一个关于坐标的函数（势能只与坐标有关，而且这里是对坐标而不是对时间求导）。因此，加速度的本质也是一个关于坐标的函数。

那么运动系统在两个位置之间的运动的积分

$$S={\int }_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt$$

取最小值（局部极值）。运动积分S一定取到最小值，所以我们能够通过研究最小值成立的条件来反推出运动的轨迹。具体而言，研究这条轨迹我们要用到变分法。直觉上，变分法就是将函数看成是一般的变量来求导求解等等。具体的，设坐标$q(t)$，我们可以想象这个q为一条轨迹，那么S取最小的时候，不管如何改变轨迹：

$$q(t)+\delta q(t)$$

S都一定会变大，这里$\delta q(t)$表示序列的改变量，称为q的变分。

不同的轨迹如图所示，可以发现，起点终点是一样的，所以在起点终点的变化量应该是0，即$\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$. 于是S的增量为

$${\int }_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)dt-{\int }_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt$$

我们可以类比下普通函数的差异$\Delta g=g(x+\Delta x)-g(x)$。类比过来，上面的这个增量可以写成

$$\delta S={\int }_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)dt-{\int }_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt$$

那么类比与函数的极值的必要条件，显然当$\frac{dg(t)}{dt}=0⟹dg(t)=0$，于是，当S取得极值时有$\delta S=0$

δ S = δ ∫ t 1 t 2 L ( q , q ˙ , t ) d t = 0 \\delta S=\\delta \\int ^t_2_t_1 L( q,\\dotq ,t) dt=0 δS=δ∫t1​t2​​L(q,以上是关于物理运动方程的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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