动态规划题目记录

Posted 2022-11-26 Rgylin

674. 最长连续递增序列

输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

利用动态规划思想

• dp数组表示下标为i时所能表示的最长连续序列
• 递推:dp[i]= max(dp[i],dp[i-1]+1)

意思是 如果i位置的数目比前一个数目要大的话,则则将前面的最大数+1赋值给i位置,这里比较不比较都可.

因为在遍历过程中dp[i]始终为1

int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) 
        int result=1;
        //dp表示下标为i时最大连续递增的个数
        int dp[nums.size()+1];
        for(int i=0;i<nums.size();i++)dp[i]=1;
        for(int i=1;i<nums.size();i++)
            if(nums[i]>nums[i-1])
                dp[i]= dp[i-1]+1;
            
            result=max(result,dp[i]);
        

        
    return result;
    

动态规划之矩阵连乘

问题描述

给定n个矩阵：A1,A2,…,An其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少

矩阵知识

对于矩阵Ai,k 和矩阵Ak,j 其中可执行的 总的次数为i × k × j

对于矩阵A1 A2 A3 A4 其乘积的次数和 矩阵之前不同的运算序列有关,比如(A1,A2)A3A4 和 A1 A2(A3 A4)不同

那这个问题就是要找到一个怎么样的运算顺序使得这个总的乘积次数最少

问题分析

我们可以将一个矩阵序列A1,2,3,j 拆分成 A1,2,k 与Ak+1,…Aj 矩阵运算 使得这个k位置将其矩阵序列拆分成俩个子序列 并且能够达到乘积次数最少

其递推公式是

用一个k当成切片将矩阵序列给切分找到最小序列

m[i][j]=min(m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]p[k][j]):自身之和加上乘积数的总数
其中i,j是 从哪个矩阵到到哪个矩阵 k是切片 目的是找到i到j的最小子序列 p是列数矩阵相乘得到的乘积次数 比如A1,A2,A3 ×A5  i就是A矩阵的二行数 A3矩阵的列数 A5矩阵的列数.

问题划分

比如这样一个矩阵序列

可以将问题规模划分成两个矩阵乘积所获得最优值,到三个矩阵乘积所活得最优值,考虑三个矩阵乘积所获得最优值时,其两个矩阵乘积最优值已经填写完成直接调用即可,循环下

这里以最后一个len为5时来考虑

首先用k来遍历切分矩阵,遍历过程中其 两个矩阵三个矩阵的最优值已经活得

m[i,j]=min(

m[1,1]+m[2,5]+P0P1P5,

m[1,2]+m[3,5]+P0P2P5,

m[1,3]+m[4,5]+P0P3P5,

m[1,4]+m[5,5]+p0p4p5

)

找到最优值赋值给1，5分值就是最优的结果，并在遍历过程中用s i,j 记录最优切分位置

总的代码为

#include<iostream>
using namespace std;
#define Maxn 100000
int m[Maxn][Maxn]; //表示i到j矩阵连城的最优值
int p[Maxn]; //p表示第i个矩阵的列数
void Maxi(int n)
    //初始化因为自己×自己为0赋值0
    for(int i=0;i<=n;i++)
        m[i][i]=0;
    
    //len表示矩阵的长度 遍历每一个长度的矩阵 从2个到n个长度矩阵
    for(int len=2;len<=n;len++)
        //枚举每一个长度矩阵 记录起点坐标比如 1,2  2,3  4,5
        for(int i=1;i<=n-len+1;i++)
            //记录终点 
            int j=i+len-1;
            //记录 i到j矩阵的最优值 先从自身去分割然后在遍历所有
            //比如  m[1,1]+m[2,5]+P0P1P5,
            m[i][j]= m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
            //然后遍历剩下切分位置
            for(int cut=i+1;i<j;cut++)
                //遍历过程中维护最小值
                int temp=m[i][cut]+m[cut+1][j]+p[i-1]*p[cut]*p[j];
                if(m[i][j]<temp)
                    m[i][j]=temp;
                
            
        
    


int main()
    return 0;

学习参考

https://www.bilibili.com/video/BV1U54y1D7sJ?share_source=copy_web&vd_source=88f5a5f5ee6323ab3447f683ec7e1e7a

剑指 Offer II 095. 最长公共子序列

对于字符串s1, s2 从后往前看 当第i,j个位置,i指s1遍历位置 j指s2遍历位置

dp[i][j]=?
情况1：如果字符串相同发生匹配时,则是上一个匹配点即是i-1 j-1的最大长度+1
情况2:如果字符串匹配位置不相同时:则是 s1上一个匹配位置 与s2上一个匹配位置的最大值
得到递推关系
if(s[i]==[sj]):
	dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
else
	dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

代码为

class Solution 
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) 
        int a=text1.length();
        int b=text2.length();
        int dp[a+1][b+1];//dp表示 1和2下标的最长子序列
        for(int i=0;i<=text1.size();i++)
            for(int j=0;j<=text2.size();j++)
                //初始化都为空串时长度为0
                dp[i][j]=0;
            
        
        for(int i=1;i<=text1.size();i++)
            for(int j=1;j<=text2.size();j++)
                if(text1[i-1]==text2[j-1])
                    dp[i][j]= dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j]= max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
               
            
        
        return dp[a][b];
        

    
;

背包

推导公式

dp[j]:表示背包重量为j时所能背的最大价值

dp由两个维度推出

第一个:放入i物品 所产生的最大价值

第二个:不放i物品所产生的最大价值

所以dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

遍历顺序

首先看重量

如果时正序: 以这个为为例 dp[1]=dp[1-1]+15=15  ,dp[2]=dp[2-1]+15=30 表示物品0被重复放入了 所以遍历背包重量时候一定要倒叙.

再来看先遍历物品还是背包重量

如果是先遍历背包重量 由于在遍历过程中 不能被重复放入只能放入一个物品 显然不合适

所以是先物品后重量

    for(int i = 0; i < weight.size(); i++)  // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--)  // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        
    

完全背包

所以对应的是完全背包

每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次

那末不久正好对应重复放入的情况 只需要正序遍历即可

而这里先背包和先物品顺序就无所谓了 因为先背包重量的话由于是正序 再次之前已经放入物品了有了其价值

int main()
    int weight[3]=1,3,4;
    int value[3]= 10,20,30;
    int bagweight=4;
    //遍历物品
    for(int i=0;i<3;i++)
        //遍历背包
        for(int j=weight[i];j<=bagweight;j++)
            dp[j]= max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
            
        
    




    return 0;

[3]= 10,20,30;
int bagweight=4;
//遍历物品
for(int i=0;i<3;i++)
//遍历背包
for(int j=weight[i];j<=bagweight;j++)
dp[j]= max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);

    





return 0;