如何深度理解回溯法，让它变得简单

Posted 2022-11-25 yealxxy

这篇文章主要是想深入浅出的讲解回溯法，会从回溯法的原理上分析，也会从应用的角度的分析回溯法的使用。

一、回溯法怎么理解

• 回溯法的解释：
  深度优先搜索法，又称为试探法，实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径，满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。（多读几遍，你会发现这涵盖了回溯法的全部类容，如果不能理解看完文章再读一遍）

• 回溯法基本思想：
  在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法，这个解释又更加的精简而正确。用白话讲回溯法就是深度搜索问题隐含的图，找到正确的路径）。

• 适用的问题：
  回溯法既然是图的深度搜索，那么相关问题都可以用回溯法解。回溯可以抽象为一棵树，我们的目标可以是找这个树有没有good leaf（找一个路径），也可以是问有多少个good leaf（找所有路径），也可以是找这些good leaf都在哪，也可以问哪个good leaf最好，分别对应上面所说回溯的问题分类。good leaf都在leaf上。good leaf是我们的goal state，leaf node是final state，是解空间的边界。
  — 求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
  — 求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
  — 判断有没有解、解的个数。

二、回溯法的解题步骤

• 1，定义解空间：针对所给问题，确定问题的解空间：首先应明确定义问题的解空间，问题的
  解空间应至少包含问题的一个（最优）解。
• 2，确定结点的扩展搜索规则。
• 3，以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

前面两步是核心，第三步只是一个加速的过程，后面会单独介绍第三步，现在先不管。

三、回溯法的代码模板

看到这里如果你还是有点迷，没有关系，看看回溯法的代码，一键开启的回溯法世界。后面会一个实际的例子来讲解这个模板式怎么回事。

1. 定义一个全局的解（如List<List> result）
2. 定义一个辅助的方法（函数）def backtracking(int n,int k, Listlist):
在回溯时通常需要一个线性结构来保存前面的状态，以便回溯时使用，

backtrack(result, i)
    if(i>n) //终止条件（第一步）
        输出结果；
    for(j=下界；j<上届；j=j+1)//枚举所有路径（第二步）
        if(fun(j))//满足界限条件或约束条件（第三步）
            backtrack(result, i+1) //递归调用，其他 操作；（第二步）
            //回到上一步;
        

四、实例

leetcode40. 从候选集找到目标为target的集合。（候选集有重复值）

• 第一步：解空间和目标。路径上和 == target，即sum（path） == target。这里我们做一个转换，每次target减去路径上的值，然后目标就是target==0.
• 第二步：如何搜索。其一，搜索过程是每次加入候选集当前值后面的数。其二，为了使得结果不重复，跳过一些重复的路径。
• 第三步：剪枝。代码里会把剪枝贴出来，后面会告诉大家找剪枝的技巧。

def combinationSum2(candidates, target):
  
    def backtrack(path,candiates,target,start):
        if target == 0: 目标
            res.append(path)
        for i in range(start,len(candidates)):
            if i != start and candidates[i-1] == candidates[i]:搜索的第二个条件
                continue
            if candidates[i] > target:剪枝
                break
            backtrack(path+[candidates[i]],candidates, target - candidates[i],i+1)搜索的过程，用start来控制搜索的路径
    res = []
    candidates.sort()
    backtrack([],candidates,target,0)
    return res

补充：找剪枝的技巧

• 方法一：在纸上画出你的路径搜索过程，然后看那些搜索是不必要的，遂剪掉
• 方法二：debug策略，单步调试，看那些搜索是在做无用功。因为你会对那些肯定没有解的搜索过程调试的更快。哈哈哈。

希望大家看完可以觉得回溯法很简单，也就达到了我的目的。