单精度浮点数中的阶码的表示范围为啥不是0~255?

Posted 2023-03-28

参考技术A 几乎所有计算机都支持二进制数据表示，即能直接识别二进制数据表示并具有相应的指令系统。通常采用的二进制定点数据表示主要有：符号数值、反码、补码以及带偏移增值码四种形式，其中最常用的是补码形式，这些都已在计算机组成原理课程中做了详 参考技术B 几乎所有计算机都支持二进制数据表示，即能直接识别二进制数据表示并具有相应的指令系统。通常采用的二进制定点数据表示主要有：符号数值、反码、补码以及带偏移增值码四种形式，其中最常用的是补码形式，这些都已在计算机组成原理课程中做了详细讨论，这里不再阐述。
二进制浮点数的表示，由于不同机器所选的基值、尾数位长度和阶码位长度不同，因此对浮点数表示有较大差别，这就不利于软件在不同计算机间的移植。美国IEEE（电子及电子工程师协会）为此提出了一个从系统结构角度支持浮点数的表示方法， 称之为IEEE标准754(IEEE，1985)，当今流行的计算机几乎都采用这一标准。
IEEE 754在标识符点数时， 每个浮点数均由3个部分组成：符号位S，指数部分E和尾数部分M。
浮点数可采用以下四种基本格式：
(1)单精度格式(32位)：E=8位，M=23位。
(2)扩展单精度格式：E≥11位，M≥31位。
(3)双精度格式(64)位：E=11位，M=52位。
(4)扩展双精度格式(64位)：E≥15位，M≥63位。
其中，单精度格式(32位)中的阶码为8位， 另有一位尾数的符号位S，处在最高位。如图4.2.1所示。应该指出的是，浮点数的分数部分与有效位部分两者是不同的， 由于IEEE754标准约定在小数点左部有一位隐含位，从而使其有效位实际有24位，这样便使尾数的有效值变为1M。阶码部分采用移码表示， 移码值为127，从而使阶码值的范围由原来的1到254，经移码后变为-126到+127。

IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数表示格式。其中，阶码值0和255分别用来表示特殊数值：当阶码值为255时，若分数部分为0，则表示无穷大；若分数部分不为0，则认为这是一个‘非数值’。当阶码和尾数均为0时则表示该数值为0，因为非零数的有效位总是≥1，因此特别约定，这表示为0。当阶码为0， 尾数不为0时，该数绝对值较小， 允许采用比最小规格化数还要小的数表示。概括起来，由32位单精度所表示的IEEE 754标准浮点数N可以有如下的解释：
若E=0，且M=0，则N为0。
若E=0，且M≠0，则N=(-1)S·2-126·(0.M)。为非规格化数。
若1≤E≤254，则N=(-1)S·2E-127·(1.M)。为规格化数。
若E=255，且M≠0，则N=NaN（‘非数值’）。
若E=255，且M=0，则N=(-1)S∝（无穷大）。
由此可见， IEEE 754标准使0有了精确表示，同时也明确地表示了无穷大，所以，当a/0(a≠0)时得到结果值为±∞；当0/0时得到结果值较小的数，为了避免下溢而损失精度，允许采用比最小规格化数还要小的数来表示，这些数称为非规格化数(Denormalnumber)。应注意的是，非规格化数和正、负零的隐含位值不是1而是0。
下面举两个例子来说明IEEE 754标准浮点数的表示：

(1)N=-1.5，它的单精度格式表示为：

1 01111111 10000000000000000000000

其中，S=1，E=127，M=0.5，因此N=-1.5。

(2)以下的32位数所表示的单精度浮点数为多少?

1 10000001 01000000000000000000000

其中，S=1，E=129，M=0.25，由公式可知N=-5。本回答被提问者采纳

关于IEEE754中的浮点数的阶码的表示问题

标准是说阶码是用移码表示，但是我不太理解：
例如：对于单精度浮点数，如果阶码是 -1，那么加上偏置值127之后就是126，然后，阶码就表示成：
0111 1110，这不是126的原码吗？
而且 -1 的移码不是：0111 1111吗？
不太理解这如何可以跟移码联系起来，求解答。

参考技术A 指数部分(阶码)即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（32位的情况是127）的和。采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。单精度的指数部分是−126～+127加上偏移值127 ，指数值的大小从1～254（0和255是特殊值）。浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。

这里移码实际上偏正值，和二进制中的不一样的