01背包问题（大彻大悟版）

Posted 2023-03-13 &玛玛哈哈&

背包问题身为一个非常经典的动态规划问题，理清思路很重要，在经过多次观看y总视频和b站解析，加上CSDN的文章辅助，我终于从很多不理解到大彻大悟，下面是我对于背包问题思路的总结，有问题的话欢迎指出。

谈到背包问题，先以下面这最经典的一道背包问题为例子

---

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

不废话，直接给出两种思路（可以结合看）

1. bilibili表格法

b站中把背包问题转化为一个表格来理解，我觉得特别有用，对于背包问题光是靠说是很难理解的，通过表格总结公式和方法，对于该题非常有效，入门背包问题必须要看看。（链接：【【动态规划】背包问题】 https://www.bilibili.com/video/BV1K4411X766/?share_source=copy_web&vd_source=7e63f1b6fa68c511b241d12721f0a4bc）

先从一个具体例子入手

对于所给定的背包容量和物品状态，我们需要找出价值最大的一个组合，通过画图

假设这是一个f(i,j)的数组，则每一个f（i,j）的值都是前i（物品编号）件物品中，不超过j（背包容量）体积下的最大值

注意：重中之重，每个格子是只考虑前i件物品 当时我比较不能理解的是为什么只考虑前i件物品下不超过该体积的值，编号i之后的物品不也可以放入该体积容量，假如该方法价值更高，那不是就不是该背包体积下最大价值了。

当时就是不能理解啊，后面思考之后终于悟了，表格是所有情况都能考虑到，因为每个格子是在选了和不选的情况下取的最大值，我们只要只考虑前i件物品，后面每一个格子就能由前面的推出来，也能得到一个公式。

比如这题假如我们要算第f（4，8）的值，也就是该条件的最大价值，假设我们不知道该值，前面的数据我们都是知道的，因此第4件物品有选和不选两种情况，如果不选，f（4，8）=f（3，8），本来需要考虑前4个，现在只需要考虑前3个，而f（3，8）前面是已经算出来了。假如选，则需要满足一个条件，即此时背包剩余的容量一定大于第四件物品体积，在此前提下，我们选了第4件物品，然后往前找，选了4之后我们表格应该找到f（3，8-第四件物品体积）也就是f（3，3），此时只考虑前3个物品，即f（4，8）=第四件物品价值+f（3，3），因为前面的f都是已经计算出来对应条件的价值最大值了，f（4，8）的值也就出来了。最后，在选和不选中取一个最大值即使f（4，8）的值。

用表格容易理解，但确定是该方法不容易运用到其他同题型中，下面给出第二种

2.闫式DP分析法

此方法比较有规律和逻辑，但对于新手不容易理解（nnd当时我看了好多遍才懂），但是第一种懂了，第二种也应该学习，因为该方法会了之后同题型就变得很简单了，后面我也会发类似题目的博客，用该方法来做，会发现简单很多。

大致思路与第一种是差不多的，也是把f（i，j）分为两种情况，这里不多做解释，和第一种同理

该方法很系统的对于该类题型的做题方法做了一个总结，此时f（i，j）为一个集合，每个f（i，j）的内容需要其属性来判断，背包问题要求我们找最大值，即属性为max，因此f（i，j）为对应条件下的最大值，然后进行状态计算，如何计算f（i，j），找到最后一个不同点进行划分，对于其他题型我们只需要对f（i，j）进行不同情况的划分考虑完就可以了。

状态计算的核心：如何将现有的集合划分为更小的子集,使得所有子集都可以计算出来，这是我们需要做的事

说了这么多，没有代码就是空谈

代码如下：（第一种和第二种方法都一样代码）

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()

    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)//i代表物品，第一件开始考虑
        for(int j=0;j<=m;j++)//j代表背包容量，可以为0（一件都不选），因此从0开始
        
            f[i][j]=f[i-1][j];//不选第i个物品
            
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//选第i个物品
        
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;

对于该代码我们是可以进行优化的，把二维转化为一维可以节省空间和时间，这里也给出优化后的代码，想要了解为什么的这里也给出一个链接https://www.acwing.com/solution/content/1374/，里面解释的非常好，这里我就不多阐明

优化后的代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()

    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)//这里为什么从后往前遍历，因为为了防止第i层前面先被更新
        
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;

最后祝大家早日理解背包问题，把动态规划用的行云流水，以后也会常更新dp的！！！