逆波兰表达式│算法与数据结构

Posted 2021-09-16 暗语寒飞

零: 提出问题

假如需要你将两个已知的数字相加或者相乘，用代码表达出来是不是非常的 easy。再假如给出的是类似 1+1 由一个符号两个数字组成的字符串，要求出它的结果，可以用 split() 函数分割字符串后进行计算，也是没有多少难度。

那就再升级一步，如果这个字符串不止有两个数字和一个符号，是一个包含加减乘除和括号的复杂算术表达式呢？比如下面的一个算术表达式:

1 + ( 2 - 3 * 4 ) / 5 + 6

我们可以使用 栈 来完成这个算术表达式的计算。创建两个栈分别存放数字和符号，然后通过符号间的优先级关系判断是否前一个符号是否可以计算。具体方法在文章 224. 基本计算器│leetcode 已经进行了详细的解析，本文就不再重复解析这种方法了，想要了解的小伙伴可以点击链接查看文章。

现在就请出本文的主角！

壹: 主角出现

本文的主角叫 逆波兰表达式，也叫后缀表达式。后者这个比较通俗的名字很明确的表示了自己的含义，意思是计算的符号在要计算的两个数字之后。

我们常用的算术表达式是中缀表达式，计算符号在两个数字之间。在现实中基本没有直接给出一个逆波兰表达式的场景，也就意味着必须先将中缀表达式转换成逆波兰表达式。

我们使用上面的例子，可以先看看转换成逆波兰表达式是什么样子？

1 2 3 4 * - 5 / + 6 +

贰: 这是怎么做到的

好奇怪的一串字符，它是怎么转化来的呢？它真的能用来计算吗？我们先来解析一下第一个问题：

中缀表达式:

1 + ( 2 - 3 * 4 ) / 5 + 6

第一步:
所有算术步骤加上括号，表明优先级
这一步去除了符号与符号间的优先级关系, 计算先后顺序依照括号进行. 如:乘除要优先于加减

( ( 1 + ( ( 2 - ( 3 * 4 ) ) / 5 ) ) + 6 )

第二步: 
将括号内的符号移动到被包裹的最内层的右括号之后

( ( 1   ( ( 2   ( 3   4 ) * ) -   5 ) / ) +   6 ) +

第三步: 
去掉括号

1 2 3 4 * - 5 / + 6 +

看到现在，是不是还是一头雾水，所以，一定要坚持往下看! 进行下一步骤。

现在肯定要讲转换到的逆波兰表达式怎么计算了，否则各位读者老爷都不耐烦的走光了。

从逆波兰表达式的左侧开始，先找到第一个符号，抽出符号前的两个数字并计算。

1. 找到符号 `*`, 进行计算 `3 * 4 = 12`, 当前表达式为 `1 2 12 - 5 / + 6 +`
2. 找到符号 `-`, 进行计算 `2 - 12 = -10`, 当前表达式为 `1 -10 5 / + 6 +`
3. 找到符号 `/`, 进行计算 `-10 / 5 = -2`, 当前表达式为 `1 -2 + 6 +`
4. 找到符号 `+`, 进行计算 `1 + -2 = -1`, 当前表达式为 `-1 6 +`
5. 找到符号 `+`, 进行计算 `-1 + 6 = 5`, 得到结果为 `5`

看完示例，是不是豁然开朗了呢，将表达式转换成逆波兰表达式，可以从左到右，检索到一个符号就立刻进行计算。完全去除了括号的强制优先运算和运算符之间的优先级关系。

叁: 我们需要一个做道题

leetcode 150 题目就是关于逆波兰表达式求值的:

150. 逆波兰表达式求值

根据 逆波兰表示法，求表达式的值。

有效的运算符包括 +, -, *, / 。
每个运算对象可以是整数，也可以是另一个逆波兰表达式。

说明：

- 整数除法只保留整数部分。
- 给定逆波兰表达式总是有效的。
  换句话说，表达式总会得出有效数值且不存在除数为 0 的情况。

示例 1：

输入: ["2", "1", "+", "3", "*"]
输出: 9
解释: 该算式转化为常见的中缀算术表达式为：((2 + 1) * 3) = 9

想要实现逆波兰表达式的运算，还是需要引入 -- 栈。将数值元素依次加入栈中，如果遇到符号，则将栈中的最后两个数值出栈，注意先后顺序，先出栈的在计算时处于符号之后，后出栈的数值在计算时处于符号之前。计算完成后将得到的数值入栈。最后，数值栈中仅保留一个数值元素，这个就是计算结果。

class Solution:
    def evalRPN(self, tokens: list[str]) -> int:
        数值栈 = []
        for token in tokens:
            if token not in "+-*/":  # 当前元素是数字
                数值栈.append(int(token))
            else:
                数值后 = 数值栈.pop()
                数值前 = 数值栈.pop()
                if token == \'+\':
                    数值栈.append(数值前 + 数值后)
                elif token == \'-\':
                    数值栈.append(数值前 - 数值后)
                elif token == \'*\':
                    数值栈.append(数值前 * 数值后)
                elif token == \'/\':
                    数值栈.append(int(数值前 / 数值后))
        return 数值栈.pop()

肆: 上一道题好像考察不全面

上题直接给出了逆波兰表达式，我们只需要求解即可。那如果只给出一个普通的表达式，又需要使用逆波兰表达式进行计算。那使用代码如何去做呢?

def 中缀表达式转逆波兰表达式(s):
    \'\'\'假设 s 是一个仅有数字和运算符号(包含括号)的有效中缀表达式\'\'\'
    符号栈, 表达式队列, 上一字符 = [], [], \'\'
    # 符号优先级(栈中最后一位与当前符号进行比较)
    符号优先级表 = {
        "+": {"+": \'>\', \'-\': \'>\', \'*\': \'<\', \'/\': \'<\', \'(\': \'<\', \')\': \'>\'},
        "-": {"+": \'>\', \'-\': \'>\', \'*\': \'<\', \'/\': \'<\', \'(\': \'<\', \')\': \'>\'},
        "*": {"+": \'>\', \'-\': \'>\', \'*\': \'>\', \'/\': \'>\', \'(\': \'<\', \')\': \'>\'},
        "/": {"+": \'>\', \'-\': \'>\', \'*\': \'>\', \'/\': \'>\', \'(\': \'<\', \')\': \'>\'},
        "(": {"+": \'<\', \'-\': \'<\', \'*\': \'\', \'/\': \'\', \'(\': \'<\', \')\': \'=\'},
        ")": {"+": \' \', \'-\': \' \', \'*\': \'\', \'/\': \'\', \'(\': \' \', \')\': \' \'},
    }
    for value in s:
        if value not in \'+-*/()\':  # 是数字
            if 上一字符 not in \'+-*/()\':  # 是连续的数字
                表达式队列.append(表达式队列.pop() * 10 + int(value))
            else:
                表达式队列.append(int(value))
        else:
            while True:  # 在栈中可能有多个优先级更高的符号, 需要遍历
                if len(符号栈) == 0 or 符号优先级表[符号栈[-1]][value] == \'<\':  # 当前符号优先级更高, 加入栈
                    符号栈.append(value)
                    break
                elif 符号优先级表[符号栈[-1]][value] == \'=\':  # 结束符遇到了结束符
                    符号栈.pop()
                    break
                elif 符号优先级表[符号栈[-1]][value] == \'>\':  # 栈中优先级更高, 可计算
                    表达式队列.append(符号栈.pop())
        上一字符 = value
    for 符号 in 符号栈:  # 符号栈中可能会剩余一个符号, 直接加入
        表达式队列.append(符号栈.pop())
    return 表达式队列


if __name__ == "__main__":
    print(中缀表达式转逆波兰表达式(\'1+(2-3*4)/5+6\'))

以上代码执行后得到的结果是:

[1, 2, 3, 4, \'*\', \'-\', 5, \'/\', \'+\', 6, \'+\']

是不是转换成了和 leetcode 150 题一样的表达式了? 那么接下来的步骤就不用多言了吧。

伍: 宣传一下自己

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