最低数量比较以找到 3 个数字的中位数

Posted 2023-02-16

【中文标题】最低数量比较以找到 3 个数字的中位数

【英文标题】：Minimum no. of comparisons to find median of 3 numbers

【发布时间】：2013-06-14 01:33:30

【问题描述】：

我正在实施快速排序，我希望将枢轴设置为中位数或三个数字。这三个数字分别是第一个元素、中间元素和最后一个元素。

我能在 less 中找到中位数吗？比较？

median(int a[], int p, int r)

    int m = (p+r)/2;
    if(a[p] < a[m])
    
        if(a[p] >= a[r])
            return a[p];
        else if(a[m] < a[r])
            return a[m];
    
    else
    
        if(a[p] < a[r])
            return a[p];
        else if(a[m] >= a[r])
            return a[m];
    
    return a[r];

【问题讨论】：

你只关心比较次数吗？其他算术运算数是不是有界？

我只想要一个高效的代码来计算中位数。

那么你就有了。最好的情况是 2 次比较，最坏的情况是 3 次。

【参考方案1】：

如果关注点只是比较，那么应该使用它。

int getMedian(int a, int b , int c) 
    int x = a-b;
    int y = b-c;
    int z = a-c;
    if(x*y > 0) return b;
    if(x*z > 0) return c;
    return a;

【讨论】：

或者简单地使用三元运算符（C、C#、Java、javascript，...）：((a-b)*(b-c) > -1 ? b : ((a-b)*(a-c) < 1 ? a : c))

【参考方案2】：

int32_t FindMedian(const int n1, const int n2, const int n3) 
    auto _min = min(n1, min(n2, n3));
    auto _max = max(n1, max(n2, n3));
    return (n1 + n2 + n3) - _min - _max;

【参考方案3】：

你不能一次完成，而且你只使用两个或三个，所以我会说你已经得到了最少的比较次数。

【讨论】：

可以对任意 3 个数字进行严格的 2 次比较吗？

不，例如，如果您选择了两个最小值，则必须有一个决胜局。尽管如果您愿意使用其他操作，则可以通过两次比较来摆脱困境。请参阅 Raghav 的回答。

【参考方案4】：

与其只计算中位数，不如将它们放在适当的位置。这样您就可以一直只进行 3 次比较，并且您的支点更接近到位。

T median(T a[], int low, int high)

    int middle = ( low + high ) / 2;
    if( a[ middle ].compareTo( a[ low ] ) < 0 )
        swap( a, low, middle );
    if( a[ high ].compareTo( a[ low ] ) < 0 )
        swap( a, low, high );
    if( a[ high ].compareTo( a[ middle ] ) < 0 )
        swap( a, middle, high );

    return a[middle];

【参考方案5】：

我知道这是一个旧线程，但我必须在一个 RAM 非常少且没有硬件乘法单元 (:) 的微控制器上解决这个问题。最后我发现以下效果很好：

static char medianIndex[] =  1, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 1 ;

signed short getMedian(const signed short num[])

    return num[medianIndex[(num[0] > num[1]) << 2 | (num[1] > num[2]) << 1 | (num[0] > num[2])]];

【参考方案6】：

如果您不怕弄脏编译器内在函数，您可以使用正好 0 个分支。

之前讨论过同样的问题：Fastest way of finding the middle value of a triple?

尽管如此，我必须补充一点，在快速排序的天真实现的上下文中，有很多元素，在找到中位数时减少分支的数量并不是那么重要，因为分支预测器会在你将开始在枢轴周围折腾元素。更复杂的实现（不在分区操作上分支，并避免 WAW 危害）将从中受益匪浅。

【参考方案7】：

从总和中删除最大值和最小值

int med3(int a, int b, int c)

    int tot_v = a + b + c ;
    int max_v = max(a, max(b, c));
    int min_v = min(a, min(b, c));
    return tot_v - max_v - min_v

【讨论】：

请尝试解释您的答案，添加一些 cmets。

这已经是这个问题的答案了：***.com/a/29242318/1816580

【参考方案8】：

实际上有一种巧妙的方法可以通过仔细分析 6 种可能的排列（低、中、高）来将中值元素从三个中分离出来。在python中：

def med(a, start, mid, last):
    # put the median of a[start], a[mid], a[last] in the a[start] position
    SM = a[start] < a[mid]
    SL = a[start] < a[last]
    if SM != SL:
        return
    ML = a[mid] < a[last]
    m = mid if SM == ML else last
    a[start], a[m] = a[m], a[start]

你有一半的时间有两个比较，否则你有 3 个（平均 2.5）。而且您只在需要时交换中值元素一次（2/3 的时间）。

完整的python快速排序在：

https://github.com/mckoss/labs/blob/master/qs.py

【讨论】：

其实不是 2.5，而是 2.666.. 因为你只在三分之一的情况下进行了两次比较（假设所有三个值都是根据相同的分布和加倍值的概率随机选择的i 0，即 a[start] 包含中位数的概率）。

【参考方案9】：

你可以写出所有的排列：

    1 0 2
    1 2 0
    0 1 2
    2 1 0
    0 2 1
    2 0 1

然后我们要找到1的位置。如果我们的第一个比较可以拆分出一组相等的位置，例如前两行，我们可以通过两次比较来做到这一点。

问题似乎是前两行在我们可用的任何比较中都不同：a<b、a<c、b<c。因此，我们必须完全识别排列，这需要在最坏的情况下进行 3 次比较。

【参考方案10】：

使用按位异或运算符，可以找到三个数字的中位数。

def median(a,b,c):
    m = max(a,b,c)
    n = min(a,b,c)
    ans = m^n^a^b^c
    return ans