51Nod1009 数字1的数量

Posted 2021-01-17 erutsiom

题目大意：输入一个十进制数N，计算出从0到N所有数里所有1的个数（注：111里有3个1）

【冷静分析】这道题乍一看有些棘手（实际也不是水题），我们不妨先找找规律。

·一位数里一共有几个1？

答：1。一个。

·两位数里有几个1？

答：个位数是1的：1,11,21,31,……（10个）

十位数是1的：10,11,12,13……（10个）

所以有二十个。

·三位数呢？

答：我不想列举了，有三百个。

等等：1，20,300……

……？？？？？？！似乎真的有规律啊！

也就是说，从0——9999（k个9）一共有1的个数是：

f(k)=k(10^k)————①*

惊人的发现啊！我们继续找规律。

不妨以12345这个数为例：

由结论①可知，在1——9999内有4000个1

接下来看10000——12345

我们惊奇地发现，这2346个数的万位都是1，所以答案加上2346

顺着这个思路，我们再来看千位：

当千位为0时，后面的三个数无论是多少，整体都不会超过12345

我们自然想到结论①，这0——999中有300个1

当千位为1时，后面三个数无论是多少，整体也不会超过12345

再加上300，当然，不能忘了千位的1，它一共贡献了1000

当千位为2时，抱歉，路不通了

那我们再看百位。同理：

百位可以固定的数是0,1,2，它们总共会贡献3 * f(2)= 60

百位上的1可以贡献： 100

看十位：固定0,1,2,3，贡献4 * f(1)= 4

十位上的1可以贡献： 10

个位可以是0,1,2,3,4,5，贡献： 1

所以答案是8121

怎么设计程序呢？

首先要注意到的是函数f，可以预处理一下，用数组保存每一个k的f[k]

剩下来的操作虽然冗长，但并不繁杂，涉及到的操作如下：

1、若正在处理的数字是1，计算出1后面的数字m，ans+=m+1（回想加2346的操作）

2、若处理的是个位，若个位不是0，则ans++

3、若正在处理的数字c不是个位也不是1，从0枚举到c-1，ans+=f[s-1]（s表示这一位的位数，个位是1，十位是2……）

不要忘了加上这一位上1贡献的数，也就是10 ^ (k-1)

标程如下

?
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
ll f[10];
ll n,ans;
void solve(ll t,int s){
    if(t==1){//处理个位 ：1234？中？出现1的可能性 
        for(ll i=0;i<=n%10;i++){
            if(i==1)  ans++;
        }
        return;//证明处理完了 
    }
    ll now=(n/t)%10;//当前正在处理位置上的数字 
    if(now==1)  ans+=n%t+1;//正在处理位置上的数是1:
    //从10000到12345万位上一共可以贡献2346个1
    for(ll i=0;i<now;i++){//这一位上可以固定的数 （如果是1就无效了）
        if(i==1)ans+=t;//这一位可以贡献的1的个数 
        ans+=f[s-1];//s表示这一位是从右往左第几位 
    }
    solve(t/10,s-1);//处理下一位，相应地，s应该右移 
}
int main(){
    ll a,b=1,c=1;
    for(a=1;a<=9;a++){
        f[a]=a;
        for(ll i=1;i<a;i++)f[a]*=10;
    }
    scanf("%lld",&n);
    while(b<n)b*=10,c++;
    solve(b,c);
    printf ("%lld
",ans);
    return 0;
 }

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