全为 1 的最大尺寸平方子矩阵 [重复]

Posted 2023-02-19

【中文标题】全为 1 的最大尺寸平方子矩阵 [重复]

【英文标题】：Maximum size square sub-matrix with all 1s [duplicate]

【发布时间】：2013-07-21 07:19:29

【问题描述】：

给定一个二进制矩阵，我找到了所有1s 的最大平方子矩阵。

例如，考虑下面的二进制矩阵：

   0  1  1  0  1 
   1  1  0  1  0 
   0  1  1  1  0
   1  1  1  1  0
   1  1  1  1  1
   0  0  0  0  0

所有设置位的最大平方子矩阵是

1  1  1
1  1  1
1  1  1

我在网上搜索了解决方案，并找到了构造辅助矩阵的关系：

 If M[i][j] is 1 then
            S[i][j] = min(S[i][j-1], S[i-1][j], S[i-1][j-1]) + 1
         Else /*If M[i][j] is 0*/
            S[i][j] = 0

M[][] 是原始矩阵，s[][] 是辅助矩阵？ 这种关系意味着什么？ 它有什么帮助。

【问题讨论】：

这是两年多前在此博客上提出的问题的副本：tech-queries.blogspot.com/search/label/Dynamic%20programming。

【参考方案1】：

您可以在线性时间内做到这一点。

声明：我可以在线性时间内构建一个数据结构，让我可以在恒定时间内检查任意矩形是否全为 1。

证明：部分和；取S[i][j] 为(i, j) 上方和左侧1 的总数。在(a,b) 和(c,d) 之间的矩形中，如果(a,b) 在(c,d) 的上方和左侧，则为S[c][d] + S[a][b] - S[a][d] - S[b][c]。

现在是对数组的简单扫描：

size = 1;
For i = 0 to m-size 
  For j = 0 to n-size 
    If S[i+size][j+size] - S[i][j+size] - S[i+size][j] + S[i][j] == size*size 
      size++; j--; continue;
    
  

最后，size 比最大的 1-full square 大一。

【讨论】：

时间是如何线性的？不会是 O(n^2) 吗？

@WasimThabraze：“线性”表示“输入大小呈线性”。对于 n*n 网格，输入有 n^2 个元素。

【参考方案2】：

这是一个经典的动态规划问题。而且你还没有提到整个算法如下：

要构造辅助数组，我们必须执行以下操作：

首先将第一行第一列从M[][]复制到S[][]

对于您提到的其余条目，请执行以下操作：

 If M[i][j] is 1 then
    S[i][j] = min(S[i][j-1], S[i-1][j], S[i-1][j-1]) + 1
 Else /*If M[i][j] is 0*/
    S[i][j] = 0

在S[][]中找到最大的入口，并用它来构造最大尺寸的方形子矩阵

这种关系意味着什么？

要找到最大平方，我们需要找到1s在不同方向上的最小延伸，并在其上加1，形成当前情况下平方结束的长度。

所以对于您的情况 s[][] 将是：

   0  1  1  0  1
   1  1  0  1  0
   0  1  1  1  0
   1  1  2  2  0
   1  2  2  3  1
   0  0  0  0  0

如果我们只取其中的最小值，即S[i][j-1], S[i-1][j]，它会处理左上角方向。但是，我们还需要确保透视正方形的左上角有 1。 S[i-1][j-1]，根据定义，在位置 i-1，j-1 处包含一个最大正方形，其左上角设置了我们可以向上和向左的上限。所以，我们也需要考虑这一点。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

...为了找到 M 的最大全 1 平方子矩阵，在 S 中找到最大条目，例如S[i][j]。此条目表示大小为 S[i][j] 的 M 的最大全 1 方子矩阵的右下角。

【参考方案3】：

您可以构建一个额外的递归函数，该函数将当前行和列作为参数，并从中查找任意大小的正方形。

从您的其他函数中，在额外函数返回一个值后，您必须进行 2 次调用： 一个来自 (row,col+1)，另一个来自 (row+1,col)。

这是回溯用法，我们检查所有选项。