在给定二进制 MxN 矩阵和切换列的能力的情况下最大化行相同性？

Posted 2023-02-22

【中文标题】在给定二进制 MxN 矩阵和切换列的能力的情况下最大化行相同性？

【英文标题】：Maximize row-sameness given a binary MxN matrix and the ability to toggle columns?

【发布时间】：2014-11-02 00:48:47

【问题描述】：

如果您有一个 1 和 0 的二进制矩阵，并且您能够切换列（将列中的所有 1 更改为 0，并将所有 0 更改为 1），您如何找到“纯”行的最大数量对于所有可能的列切换组合？ “纯”表示该行全为 0，或全为 1。

例如：

1 0

1 0

1 1

您可以切换任一列以获得 2 行“纯”，这是您能做的最好的（切换两者并不是更好），因此您返回 2（“纯”行的最大数量）。

我似乎无法找到一种有效的方法来做到这一点。到目前为止，我得到的唯一方法是使用一堆循环和蛮力，并通过检查一行的总和是 0（全 0）还是 N（一行中的元素数）来检查是否相同。

【参考方案1】：

更新

在 OP 澄清后，最大纯行问题是找到切换后变为 00...0 或 11...1 的最大行数。我已经相应地更新了我的解决方案。

请注意，我们有以下事实：

如果两行 r_i 和 r_j 在切换后减少为纯行，那么我们必须以 r_i = r_j 开头。

如果 r_i ≠ r_j 和 r_i重叠r_j（即它们对应的一些列是相同的），那么它们都不能映射到一个纯行。

以上两个事实都直接来自以下观察：

Max number of "pure" rows is the same as the max number of identical rows

证明

我们声称构成最大纯问题解的所有行在矩阵 M 中必须相同。

假设给定一个 m×n 矩阵M，并且我们已经找到了最大纯行问题的解决方案。让行 r_i 和 r_j 是两个任意行，在切换后会减少为纯行。 p>

请注意，在对列进行所有必要的切换操作之后（用 σ₁ 表示，σ₂ , ..., σ_k), r_i 和 r_{j sub>} 都是“纯”行。即我们有以下内容：

σ1(σ2(...(σk(ri)...)) = σ1(σ2(...(σk(rj)...)) = 00...0

或

σ1(σ2(...(σk(ri)...)) = σ1(σ2(...(σk(rj)...)) = 11...1

所以在应用所有这些切换操作之后，r_i 和 r_j 将彼此相等。如果我们撤消最后一次切换（即我们切换这些行的同一列条目），很明显 r_i 和 r_j 仍将映射到相同的输出。即我们有以下内容：

σ2(σ3(...(σk(ri)...)) = σ2(σ3(...(σk(rj)...))

如果我们继续撤消切换操作，我们可以得出结论 r_i = r_j。换句话说，如果您从最大纯问题的解中选择任意行，则这些行在开始时必须相同。

想法

给定一行r_i，如果可以归约为纯行，比如00...0，那么我们知道另一行r如果 r_i 与 r_{j 重叠，则 j} 不能减少到 11...1 sub> （来自上面的事实 2）。我们只能希望与 r_i 不重叠的另一行 r_k 减少到 11.. .1.

算法

根据前面的思路，我们可以有以下简单的算法来解决最大纯行问题。

我们首先扫描矩阵M的行，然后找到矩阵的所有唯一行（记为s₁，s ₂, ..., s_k)。我们让count(si) 表示 s_i 在 M 中出现的次数。 然后我们遍历所有对 (s_i, s_j) 以确定最大纯行数，如下所示：

int maxCount = 0;

for each row si:
    for each  sj ≠ si:
        if (sj overlaps si)
            continue;
        else
            if (count(si) + count(sj) > maxCount)
                // We have found a better pair
                maxCount = count(si) + count(sj);    

return maxCount;

我们在 O(n) 内部 for 循环中工作（用于逐项检查两行是否重叠），循环在最坏情况下超过 O(m<sup>2</sup>) 行，因此算法的运行时间是O(nm<sup>2</sup>).

【讨论】：

如果它们是纯的，为什么它们必须相同？ [[0,1],[1,0]] 不是反例吗（如果切换第 1 列，则会得到 2 个不相等的纯行）？

只需要澄清你的问题。从您的评论看来，您要求的结果行的最大数量是 either 00...0 或 11...1，但不完全属于这些类别之一，对吗?

是的...如果将 101 和 010 之类的行标识为相同，您的解决方案可能会起作用

我已经修改了我的解决方案来解决这个问题

【参考方案2】：

也许我遗漏了一些东西，但是快速浏览一下行应该可以回答您的问题。

从顶行开始，根据需要翻转每一列，直到顶行都是T。计算纯行数。每隔一行重复一次，查看计数是否大于前一行。

您不需要将整个矩阵反转，因此每一行都是 F，计数将是相同的。

最坏情况下的运行时间是O(nm)。