如何设计一种分治算法来检查数组中是不是存在一对ai，aj使得ai-aj = M？

Posted 2023-03-27

【中文标题】如何设计一种分治算法来检查数组中是不是存在一对ai，aj使得ai-aj = M？

【英文标题】：How to design a divide and conquer algorithm to checks if there is a pair ai,aj such that ai-aj= M in an array?如何设计一种分治算法来检查数组中是否存在一对ai，aj使得ai-aj = M？

【发布时间】：2018-12-13 07:38:58

【问题描述】：

给定一个整数列表 a1,a2,...,an，编写一个算法来检查是否存在一对 ai,aj 使得 ai-aj= M。算法的时间复杂度应该是 O(nlogn ） 或更好。 就我而言，当问题是ai+aj=M时，这个问题很容易解决。但是当条件是 ai-aj=M 时，我现在有麻烦了。

【问题讨论】：

如果 ai - aj = M 那么 ai + aj = M + 2aj

显示你到目前为止尝试过的，你如何解决 ai+aj=M 的问题？

我很高兴您掌握了使用键盘输入作业的能力。也许尝试编写一些伪代码

当条件为ai+aj =M时，问题很简单。对列表进行排序。从相反的两端开始。例如看a[1] + a[n]：如果和大于M，那么肯定a[n]不能在组合中，所以递减右指针。如果和小于 M，那么肯定 a[1] 不能在组合中，所以递增左指针。在中间的某个地方见面

你尝试过什么减法？如果您发现添加非常容易，那么对您来说应该不难。我们可能会帮助您找到它/解释它为什么不起作用，但我们不会只告诉您答案

【参考方案1】：

您可以使用两种分而治之的算法来解决这个问题。

首先，使用归并排序对集合进行排序，即 O(logn)。

然后，一个接一个地，你可以查看一个元素 ai，看看 M-ai 是否是一个元素，即 aj。由于数组已排序，您可以运行二进制搜索，这也是一种分治算法，运行时间为 O(logn)。在最坏的情况下，您需要这样做 n 次，列表中的每个元素一次。

因此，该算法的运行时间为 O(logn + n*logn) = O(nlogn)