查找具有相同内部表示的浮点数/双精度数的最小值/最大值

Posted 2023-02-16

【中文标题】查找具有相同内部表示的浮点数/双精度数的最小值/最大值

【英文标题】：Find min/max of a float/double that has the same internal representation

【发布时间】：2009-11-03 15:48:31

【问题描述】：

刷新floating points（也称为PDF）、IEEE-754 并参与in this discussion on floating point rounding when converting to strings，让我想到了修补：如何获得二进制表示相等的给定浮点数的最大值和最小值.

免责声明：对于本次讨论，我喜欢使用 IEEE-754 描述的 32 位和 64 位浮点。我对扩展浮点（80 位）或四边形（128 位 IEEE-754-2008）或任何其他标准 (IEEE-854) 不感兴趣。

背景：计算机不擅长用二进制表示 0.1。在 C# 中，浮点数在内部将其表示为 3DCCCCCD（C# 使用舍入到最近），双精度数表示为 3FB999999999999A。相同的位模式用于十进制 0.100000005 (float) 和 0.1000000000000000124 (double)，但不适用于 0.1000000000000000144 (double)。

为方便起见，以下 C# 代码给出了这些内部表示：

string GetHex(float f)

    return BitConverter.ToUInt32(BitConverter.GetBytes(f), 0).ToString("X");


string GetHex(double d)

    return BitConverter.ToUInt64(BitConverter.GetBytes(d), 0).ToString("X");


// float
Console.WriteLine(GetHex(0.1F));

// double 
Console.WriteLine(GetHex(0.1));

在0.1 的情况下，没有用相同位模式表示的小十进制数，任何0.99...99 都会产生不同的位表示（即，0.999999937 的浮点数在内部产生3F7FFFFF） .

我的问题很简单：如何找到以相同二进制表示形式内部存储的给定浮点数（或双精度数）的最低和最高十进制值。

为什么：（我知道你会问）在 .NET 转换为字符串和从字符串转换时查找舍入错误，以查找内部精确值和更好地了解我自己的舍入误差。

我的猜测是这样的：取尾数，去掉其余的，得到它的精确值，再高一个（尾数位），然后计算平均值：低于这个值的任何东西都会产生相同的位模式。我的主要问题是：如何将小数部分作为整数（位操作它不是我最强的资产）。 Jon Skeet's DoubleConverter 类可能会有所帮助。

【参考方案1】：

解决您的问题的一种方法是在 Last 中找到 ULP 或 Unit 的大小Place，你的浮点数。稍微简化一下，这是给定浮点数和下一个更大数字之间的距离。再次简化一点，给定一个可表示的浮点值 x，任何值在 (x - 1/2 ulp) 和 (x + 1/2 ulp) 之间的十进制字符串在转换为浮点数时都将舍入为 x -点值。

诀窍在于 (x +/- 1/2 ulp) 不是可表示的浮点数，因此实际计算它的值需要您使用更宽的浮点类型（如果可用）或任意width big decimal 或类似类型来进行计算。

如何找到 ulp 的大小？一种相对简单的方法大致是您建议的，这里写的是 C-ish 伪代码，因为我不懂 C#：

float absX = absoluteValue(x);
uint32_t bitPattern = getRepresentationOfFloat(absx);
bitPattern++;
float nextFloatNumber = getFloatFromRepresentation(bitPattern);
float ulpOfX = (nextFloatNumber - absX);

这是有效的，因为在 x 的位模式上加一恰好对应于在 x 的值上加一 ulp。减法中不会发生浮点舍入，因为所涉及的值非常接近（特别是 ieee-754 浮点算术的定理，如果两个数 x 和 y 满足 y/2 x - y）。这里唯一需要注意的是：

如果 x 恰好是最大的有限浮点数，这将不起作用（它将返回 inf，这显然是错误的）。 如果您的平台不能正确支持逐渐下溢（比如嵌入式设备在清零模式下运行），则这不适用于非常小的 x 值。

听起来您不太可能处于这两种情况中，所以这应该可以很好地满足您的目的。

现在您知道 x 的 ulp 是什么，您可以找到四舍五入为 x 的值的区间。您可以精确地以浮点计算 ulp(x)/2，因为浮点除以 2 是精确的（同样，除非下溢）。然后你只需要计算 x +/- ulp(x)/2 合适的更大浮点类型（如果你对float 感兴趣，double 将起作用）或 Big Decimal 类型的值，你有你的间隔。

我通过这个解释做了一些简化的假设。如果您确实需要准确地说明这一点，请发表评论，我会在有机会时对有些模糊的部分进行扩展。

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另一个注意事项您的问题中的以下陈述：

0.1的情况下，没有更低的 表示的十进制数 具有相同的位模式

不正确。您只是碰巧查看了错误的值（0.999999... 而不是 0.099999... -- 很容易打错）。

【讨论】：

优秀的答案，似乎是我正在寻找的信息。如果我需要更多关于花絮的帮助，我将尝试在 C# 中解决它并返回这里。我注意到您已与 IEEE-754 团队合作建立标准？我很荣幸 ：）。你对那个错字是正确的！我很惊讶我找不到更低的值，但我想当然地把它写下来，错误和所有，哈哈！

【参考方案2】：

Python 3.1 刚刚实现了类似这样的功能：请参阅 the changelog (scroll down a bit)、bug report。