深入浅出回溯算法

Posted 2023-01-07

一，如何理解回溯算法

深度优先搜索算法利用的就是回溯算法思想，但它除了用来指导像深度优先搜索这种经典的算法设计之外，还可以用在很多实际的软件开发场景中，比如正则表达式匹配、编译原理中的语法分析等。

除此之外，很多经典的数学问题都可以用回溯算法解决，比如数独、八皇后、0-1 背包、图的着色、旅行商问题、全排列等等。

回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。暴力枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段，我们都会面对一个岔路口，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。

回溯算法的模板代码总结如下：

void backtracking(参数) 
    if (终止条件) 
        存放结果;
        return;
    
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) 
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    

二，回溯算法的经典应用

2.1，八皇后问题

有一个 8x8 的棋盘，希望往里放 8 个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。这里的“对角线”指的是所有的对角线，不只是平分整个棋盘的那两条对角线。

解决思路：可以把这个问题划分成 8 个阶段，依次将 8 个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行，每一行都有 8 中放法（8 列）。在放置的过程中，我们不停地检查当前放法，是否满足要求。如果满足，则跳到下一行继续放置棋子；如果不满足，那就再换一种放法，继续尝试。这里用的是回溯思想，而回溯算法也非常适合用递归代码实现。

// N 皇后问题 leetcode 51 https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/
class Solution 
private:
    vector<vector<string>> result;
    void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard)
        if(row == n) 
            result.push_back(chessboard);
            return;
        
        for(int column=0; column < n; column++) // 每一行都有8中放法
            if (isOK(row, column, n, chessboard))
                chessboard[row][column] = Q;  // 放置皇后
                backtracking(n, row+1, chessboard);
                chessboard[row][column] = .;  // 回溯，撤销处理结果
            
        
    
    // 判断 row 行 column 列放置皇后是否合适
    bool isOK(int row, int column, int n, vector<string>& chessboard)
        
        int leftup = column - 1; int rightup = column + 1;  // 左上角和右上角

        for(int i = row-1; i>=0; i--)  // 逐行网上考察每一行
            // 判断第 i 行的 column 列是否有棋子
            if(chessboard[i][column] == Q) 
                return false;
            
            // 考察左上对角线：判断第i行leftup列是否有棋子   
            if(leftup >=0 )
                if(chessboard[i][leftup] == Q) return false;
            
            // 考察左上对角线：判断第i行rightup列是否有棋子
            if(rightup < n)
                if(chessboard[i][rightup] == Q) return false;
            
            --leftup;
            ++rightup;
        
        return true;
      

public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) 
        result.clear();
        std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, .));
       
        backtracking(n, 0, chessboard);
        return result;
    
;

2.2，0-1 背包问题

0-1 背包是非常经典的算法问题。0-1 背包问题有很多变体，这里介绍一种比较基础的。我们有一个背包，背包总的承载重量是 W kg。现在我们有 $n$ 个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割，即对于每个物品来说，都有两种选择，装进背包或者不装进背包，对于 $n$ 个物品来说，总的装法就有 $2^n$ 种。

我们现在期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包所能装载重量 W 的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？

0-1 背包问题为什么不能用贪心算法求解？

因为不可分割，所以无法判断当前情况下，哪种物品对期望值贡献更大，即不存在当前最优的选择，所以就无法使用贪心算法了。

0-1 背包问题的高效解法是动态规划算法，但也可用没那么高效的回溯方法求解。我们可以把物品依次排列，整个问题就分解为了 n 个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归地处理剩下的物品。

int maxW = 0;

// cw 表示当前装进背包的物品的重量和，w 表示背包承载的重量
// items  表示物体的重量数组，n 表示总的物品个数， i 表示考察到第 i 个物品
int f(int i, int cw, vector<int> items, int n, int w)
    // 递归结束条件：cw == w 表示背包已经装满，i==n 表示考察完所有物品
    if(cw == w || i == n)
        if(cw > maxW) maxW = cw;
        return;
    
    f(i+1, cw, items, n, w);  // 不装
    // 剪枝过程，当装入的物品重量大于背包的重量，就不继续执行
    if(cw+items[i] <= w)
        f(i+1, cw+items[i], items, n, w); // 装
    

要理解 0-1 背包问题回溯解法的关键在于：对于一个物品而言，只有两种情况，不装入背包和装入背包两种情况。对应的就是 f(i+1, cw, items, n, w) 和 f(i+1, cw + items[i], items, n, w) 两个函数。

2.3，通配符匹配

假设正则表达式中只包含 “*” 和 “?” 这两种通配符，并且对这两个通配符的语义稍微做些改变，其中，“*” 匹配任意多个（大于等于 0 个）任意字符，“?” 匹配零个或者一个任意字符。基于以上背景假设，如何用回溯算法，判断一个给定的文本，是否和给定的正则表达式匹配？

如果遇到特殊字符的时候，我们就有多种处理方式了，也就是所谓的岔路口，比如 “*” 有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，我们就先随意的选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。如果中途发现无法继续匹配下去了，我们就回到这个岔路口，重新选择一种匹配方案，然后再继续匹配剩下的字符。

// 暴力递归 --> 记忆化 --> DP --> 状态压缩DP；

class Solution
private:
    bool matched = false;

    void backtracking(int ti, int pj, string text, string pattern)
        if (matched) return;

        if(pj == pattern.size())  // 正则表达式到末尾了
            if(ti == text.size())
                matched = true;
            return;
        
        // *匹配任意个字符
        if(pattern[pj] == *)
            for(int k=0; k< text.size()-ti;k++)
                backtracking(ti+k, pj+1, text, pattern);
        
        // ?匹配0个或者1个字符
        else if(pattern[pj] == ?)
            backtracking(ti, pj+1, text, pattern);
            backtracking(ti+1, pj+1, text, pattern);
        
        // 纯字符匹配才行      
        else if(ti < pattern.size() && pattern[pj] == text[ti])  
            backtracking(ti+1, pj+1, text, pattern);
        
    
public:
    bool isMatch(string text, string pattern)
        matched = false;
        backtracking(0, 0, text, pattern);
        return matched;
    
;

2.4，leetcode 正则表达式匹配

在 leetcode 也有变形题（leetcode10:正则表达式匹配）如下：

给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 . 和 * 的正则表达式匹配。

• . 匹配任意单个字符
• * 匹配零个或多个前面的那一个元素

所谓匹配，是要涵盖整个字符串 s 的，而不是部分字符串。

方法一：回溯（分阶段分情况讨论，暴力搜索和剪枝）

首先，考虑特俗字符只有 . 的情况。这种情况会很简单：我们只需要从左到右依次判断 s[i] 和 p[i] 是否匹配。

def isMatch(self,s:str, p:str) -> bool:
    """字符串 s 和字符规律 p"""
    if not p: return not s # 边界条件

    first_match = s and p[0] in s[0],.  # 比较第一个字符是否匹配

    return first_match and self.isMatch(s[1:], p[1:])

最后，考虑有 ’* 的情况，它会出现在 p[1] 的位置，匹配过程中会出现两种情况：

• 星号代表匹配 0 个前面的元素。如 ## 和 a*##，这时我们直接忽略 p 的 a*，比较 ## 和 ##，也就是**继续递归比较 s 和 p[i + 2:]**；
• 星号代表匹配一个或多个前面的元素。如 aaab 和 a*b，这时我们将忽略 s 的第一个元素，比较 aab 和 a*b，也就是继续递归比较 s[i + 1:] 和 p。（这里默认要检查 s[0] 和 p[0] 是否相等）。

Python3 代码如下：

class Solution:
    def isMatch(self, s: str, p: str) -> bool:
        if not p: return not s
        first_match = bool(s and p[0] in s[0],.)  # 比较第一个字符是否匹配
        
        if len(p) >=2 and p[1] == *:
            # * 匹配前面一个字符 0 次或者多次
            return self.isMatch(s, p[2:]) or first_match and self.isMatch(s[1:], p)
        else:
            return first_match and self.isMatch(s[1:], p[1:])

C++ 代码如下：

// letcode10 正则表达式匹配
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

class Solution
public:
    bool isMatch(string s, string p)
        // 如果正则串 p 为空字符串，s 也为空，则匹配成功
        if(p.empty()) return (s.empty());
        // 判断 s 和 p 的首字符是否匹配，注意要先判断 s 不为空
        bool match = (!s.empty()) && (s[0] == p[0] || p[0] == .);
        // 如果p的第一个元素的下一个元素是 *，则分别对两种情况进行判断
        if(p.size() >= 2 && p[1] == *)
            // * 匹配前面一个字符 0 次或者多次
            return isMatch(s, p.substr(2)) || (match && isMatch(s.substr(1), p));
        
        else // 单个匹配
            return match && isMatch(s.substr(1), p.substr(1));
        
        
    
;

直接递归时间复杂度太大（指数级），可以把之前的递归过程记录下来，用空间换时间。记忆化递归的 C++ 代码如下：

class Solution
public:
    bool isMatch(string s, string p)
        unordered_map<int, bool> memo;
        return backtracking(s, 0, p, 0, memo);
    

    bool backtracking(string s, int i, string p, int j, unordered_map<int, bool> & memo)
        // # 检查 s[i] 是否能被匹配，注意要先判断 s 不为空
        bool match = (i < s.size()) && (s[i] == p[j] || p[j] == .);

        if(j >= p.size()) return i >= s.size();  // p 和 s 同时遍历完

        int key = i * (p.size() + 1) + j; // 哈希键
        if (memo.find(key) != memo.end()) // 这个状态之前经历过，可以返回结果
            return memo[key];

        else if (i == s.size() && j == p.size()) // 如果s和p同时用完，匹配成功
            return memo[key] = true;

        else if((p.size()-j) >= 2 && p[j+1] == *)
            // * 匹配前面一个字符 0 次或者多次
            if(backtracking(s, i, p, j+2, memo) || match && backtracking(s, i+1, p, j, memo))
                return memo[key] = true;
        
        else  // 单个匹配
            if(match && backtracking(s, i+1, p, j+1, memo))
                return memo[key] = true;
        
        return memo[key] = false; // 没辙了，匹配失败
    
;

方法二：动态规划法

• [ ] 算法思路
• [ ] 代码

三，总结

回溯算法的思想非常简单，大部分情况下，都是用来解决广义的搜索问题，也就是，从一组可能的解中，选择出一个满足要求的解。回溯算法非常适合用递归来实现，在实现的过程中，剪枝操作是提高回溯效率的一种技巧。利用剪枝，我们并不需要穷举搜索所有的情况，从而提高搜索效率。

尽管回溯算法的原理非常简单，但是却可以解决很多问题，比如我们开头提到的深度优先搜索、八皇后、0-1 背包问题、图的着色、旅行商问题、数独、全排列、正则表达式匹配等等。

参考资料

• leetcode 8皇后问题题解
• 回溯算法：从电影《蝴蝶效应》中学习回溯算法的核心思想
• 腐烂的橘子题解-回溯和动态规划