算法设计之0-1背包问题

Posted 2020-07-19 尹松

1.题目分析：

考虑到每种物品只有2 种选择，即装入背包或不装入背包，并且物品数和背包容量已给定，要计算装入背包物品的最大价值和最优装入方案，可用回溯法搜索子集树的算法进行求解。

2.算法设计：
a. 物品有n种，背包容量为C，分别用p[i]和w[i]存储第i种物品的价值和重量，用
x[i]标记第i种物品是否装入背包，用bestx[i]存储第i种物品的最优装载方案；
b. 用递归函数Backtrack (i,cp,cw)来实现回溯法搜索子集树（形式参数i表示递归深
度，n用来控制递归深度，形式参数cp和cw表示当前总价值和总重量，bestp表示当前
最优总价值）：
① 若i >n，则算法搜索到一个叶结点，判断当前总价值是否最优：
1> 若cp>bestp，更新当前最优总价值为当前总价值（即bestp=cp），更新
装载方案（即bestx[i]=x[i]( 1≤i≤n)）；
② 采用for循环对物品i装与不装两种情况进行讨论（0≤j≤1）：
1> x[i]=j；
2> 若总重量不大于背包容量（即cw+x[i]*w[i]<=c），则更新当前总价 br=""> 值和总重量（即cw+=w[i]*x[i],cp+=p[i]*x[i]）, 对物品i+1调用递归函
数Backtrack(i+1,cp,cw) 继续进行装载；
3> 函数Backtrack(i+1,cp,cw)调用结束后则返回当前总价值和总重量
（即 cw-=w[i]*x[i],cp-=p[i]*x[i]）；
4> 当j>1时，for循环结束；
③ 当i=1时，若已测试完所有装载方案，外层调用就全部结束；
c. 主函数调用一次backtrack(1,0,0)即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的bestp和bestx[i]即为所求最大总价值和最优装载方案。 
最后给出代码。

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h
int n,c,bestp;
int p[10000],w[10000],x[10000],bestx[10000];

void Backtrack(int i,int cp,int cw)
{ 
int j;
if(i>n)
{
if(cp>bestp)
{
bestp=cp;
for(i=0;i<=n;i++) bestx[i]=x[i];
}
}
else 
for(j=0;j<=1;j++) 
{
x[i]=j;
if(cw+x[i]*w[i]<=c) 
{
cw+=w[i]*x[i];
cp+=p[i]*x[i];
Backtrack(i+1,cp,cw);
cw-=w[i]*x[i];
cp-=p[i]*x[i];
}
}
}

int main()
{
int i;
bestp=0; 
printf("请输入背包最大容量:\n");
scanf("%d",&c);
printf("请输入物品个数:\n");
scanf("%d",&n);
printf("请依次输入物品的重量:\n");
for(i=1;i<=n;i++) 
scanf("%d",&w[i]);
printf("请依次输入物品的价值:\n");
for(i=1;i<=n;i++) 
scanf("%d",&p[i]);
Backtrack(1,0,0);
printf("最大价值为:\n");
printf("%d\n",bestp);
printf("被选中的物品依次是(0表示未选中，1表示选中)\n");
for(i=1;i<=n;i++) 
printf("%d ",bestx[i]);
printf("\n");
return 0;
}