整除分块前缀和DPD. Up the Strip（简单版 + 正常版）

Posted 2022-12-10 行码棋

整除分块

给出一道例题，已知n, 求${\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$

这就是整除分块的基本例题

画一个表格找一下怎么计算,以n = 15为例

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$\lfloor \frac{15}{i}\rfloor$	15	7	5	3	3	2	2	1	1	1	1	1	1	1	1

证明：

假设分块的左端点为l，要求分块的右端点r.

设分块的值为k,对于区间$[l,r]$的每个数满足$k=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =\lfloor \frac{n}{l}\rfloor$, 即$ki\le n$,需要找到最大的i使其成立

可得$r=\lfloor \frac{n}{k}\rfloor =\lfloor \frac{n}{\frac{n}{l}}\rfloor$

计算的相关代码如下：

每次计算出相同值的左右端点$[l,r]$ ,那么相同值的个数就为$r-l+1$

int res = 0;
for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)

    r = n / (n / l);
    res += n / l * (r - l + 1);

题目

简单版

链接：

https://codeforces.com/problemset/problem/1561/D1

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状态表示：

$f[i]$: i变为1的种类数

状态转移：

$f[i]={\sum }_{j=1}^{i-1}f[j]+{\sum }_{j=2}^{i}f[\lfloor \frac{i}{j}\rfloor ]$

前一部分是考虑减法的方程，后一部分是考虑除法的方程

• 减法：可以使用前缀和进行优化
• 除法：$\lfloor \frac{i}{j}\rfloor$ 考虑使用整除分块

复杂度为$O(n\sqrt{n})$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;


void solve()

	int n, m;
	cin >> n >> m;
	
	vector<ll> f(n + 1, 0), s(n + 1, 0);
	f[1] = 1;
	s[1] = 1;
	
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	
		f[i] = (f[i] + s[i - 1]) % m;
		
		for(int l = 2, r; l <= i; l = r + 1)
		
			r = i / (i / l);
			int cnt = r - l + 1;
			
			ll x = f[i / l] * cnt % m;
			f[i] = (f[i] + x) % m;
		

		s[i] = s[i - 1]	+ f[i];
		s[i] %= m;
	
	cout << f[n] % m << "\\n";
	


int main()

	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	
	int t;
//	cin >> t;
	t = 1;
	while(t--) 
		solve();
	return 0;

 

正常版

https://codeforces.com/contest/1561/problem/D2

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这道题n的限制变大，整除分块无法过去

反过来考虑，从小到大进行考虑

状态表示：

$f[i]$ i变到n的方案数

状态转移：

$f[i]={\sum }_{j=i+1}^{n}f[j]+{\sum }_{j=2}^{j\ast i\le n}{\sum }_{k=i\ast j}^{min(i\ast j+j-1,n)}f[k]$

状态转移公式可能看着很难懂，下面进行解释：

• 前一部分：通过加法变到j的方案和，i可以变到$[i+1,n]$的任意一个
  • 计算方法：可以通过后缀和进行计算
• 后一部分：通过乘法变到k的方案数，因为题目是除法，我们反过来就变成了乘法，除法进行考虑，我们找一下原始的一个区间，区间中的每一个值可以通过除法变到同一个值
  • 若除2,区间$[2\ast i,2\ast i+1]$中的数可以变到i, 计算次数为$n/2$
  • 若除3,区间$[3\ast i,3\ast i+2]$中的数可以变到i，计算次数为$n/3$
  • 若除4,区间$[4\ast i,4\ast i+3]$中的数可以变到i，计算次数为$n/4$
  • …
  • 若除j,区间$[j\ast i,j\ast i+j-1]$中的数可以变到i，计算次数为$n/j$
  • 统计方法：后缀和：$s[i\ast j]-s[min(i\ast j+j,n+1)]$

总的计算次数就是$n/2+n/3+n/4+...+n/n=n(1/2+1/3+...+1/n)$ 后面的是调和级数，复杂度为$log(n)$，故总的复杂度为$O(n以上是关于整除分块前缀和DPD.\; Up\; the\; Strip（简单版\; +\; 正常版）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

HDU 6555 The Fool(打表&整除分块)

[Bzoj 2956] 模积和 (整除分块)

D2. Up the Strip(递推)

cf1561D Up the Strip(D1&&D2)

筛法应用CF1558B - Up the Strip

筛法应用CF1558B - Up the Strip