cf1561D Up the Strip(D1&&D2)
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了cf1561D Up the Strip(D1&&D2)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
题意：
一个长度为n的赛道，一开始在n的位置，你要前往到1，每次移动你有两种方式：
- 在1和x-1之间选择一个整数y，并从位置x移动到位置x-y
- 在2和x之间选择一个整数z，从位置x移动到位置 ⌊ x z ⌋ \\lfloor \\frac{x}{z} \\rfloor ⌊zx⌋
问有多少移动方法：
问题D1：n的数据范围是2e5
问题D1：n的数据范围是4e6
D1
题解：
对于第一个转移，任何一个状态都可以转移到x，因为是线性递推的
而对于第二个转移，我们可以发现
⌊
x
z
⌋
\\lfloor \\frac{x}{z} \\rfloor
⌊zx⌋在一个区间内值是稳定不变的，这不就是整除分块
因为z∈[2,x],所以整除分块l的初始值为2
知道l，根据整除分块可知
r
=
i
/
(
i
/
l
)
r=i/(i/l)
r=i/(i/l)
对于这一整个区间i∈[l,r]，他们的值
⌊
n
i
⌋
\\lfloor \\frac{n}{i} \\rfloor
⌊in⌋的值是一样，所以可以这一整段区间的值，都可以由dp[n/i]转移过来
所以有转移方程：
dp[x]=
∑
i
=
1
x
−
1
d
p
[
i
]
+
∑
d
p
[
x
l
]
\\sum_{i=1}^{x-1}dp[i]+\\sum dp[\\frac{x}{l}]
∑i=1x−1dp[i]+∑dp[lx]
前者我用树状数组维护
复杂度：
n
n
n\\sqrt{n}
nn
代码：
// Problem: D1. Up the Strip (simplified version)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #740 (Div. 2, based on VK Cup 2021 - Final (Engine))
// URL: https://codeforces.com/contest/1561/problem/D1
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 6000 ms
// Data:2021-08-25 00:01:00
// By Jozky
#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
x= 0;
char c= getchar();
bool flag= 0;
while (c < '0' || c > '9')
flag|= (c == '-'), c= getchar();
while (c >= '0' && c <= '9')
x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
if (flag)
x= -x;
read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
if (x < 0) {
x= ~(x - 1);
putchar('-');
}
if (x > 9)
write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef LOCAL
startTime= clock();
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef LOCAL
endTime= clock();
printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn= 2e5 + 9;
ll a[maxn];
ll f[maxn];
ll n, mod;
ll lowbits(ll x)
{
return x & (-x);
}
void update(int pos, ll val)
{
for (int i= pos; i < maxn; i+= lowbits(i)) {
a[i]= (a[i] + val) % mod;
}
}
ll query(int pos)
{
ll val= 0;
for (int i= pos; i; i-= lowbits(i)) {
val= (val + a[i]) % mod;
}
return val;
}
int main()
{
//rd_test();
cin >> n >> mod;
for (int i= 1; i <= n; i++) {
if (i == 1) {
f[i]= 1;
update(i, f[i]);
continue;
}
f[i]= query(i - 1);
int r;
for (int l= 2; l <= i; l= r + 1) {
r= i / (i / l);
int R= min(r, i);
int len= R - l + 1;
f[i]= (f[i] + 1ll * len * f[i / l] % mod) % mod;
}
update(i, f[i]);
}
printf("%lld\\n", f[n] % mod);
return 0;
//Time_test();
}
D2
题解：
这个题的数据大了20，很明显
n
n
n\\sqrt{n}
nn过不了
现在对于4e6的数据，很明显我们要优化成
n
log
n
n\\log{n}
nlogn的做法
对于一个数i，那么某种倍数j，会让
[
i
∗
j
,
i
∗
j
+
i
)
[i*j,i*j+i)
[i∗j,i∗j+i)这个范围内都可以移动到i位置
当然还要注意边界情况：
i
∗
j
<
=
n
且
j
∗
i
+
i
<
=
n
+
1
i*j<=n且j*i+i<=n+1
i∗j<=n且j∗i+i<=n+1
转移方程为：
dp[i]=
∑
j
=
i
+
1
n
d
p
[
j
]
+
∑
i
=
1
i
∗
j
<
=
n
∑
k
=
i
∗
j
i
∗
j
+
j
−
1
d
p
[
k
]
\\sum_{j=i+1}^{n}dp[j]+\\sum_{i=1}^{i*j<=n} \\sum_{k=i*j}^{i*j+j-1} dp[k]
∑j=i+1ndp[j]+∑i=1i∗j<=n∑k=i∗ji∗j+j−1dp[k]
枚举倍数的时间复杂度是
O
(
l
o
g
n
)
O(log n)
O(logn)
总复杂度是
n
log
n
n\\log{n}
nlogn
代码：
// Problem: D1. Up the Strip (simplified version)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #740 (Div. 2, based on VK Cup 2021 - Final (Engine))
// URL: https://codeforces.com/contest/1561/problem/D1
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 6000 ms
// Data:2021-08-25 00:01:00
// By Jozky
#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
x= 0;
char c= getchar();
bool flag= 0;
while (c < '0' || c > '9')
flag|= (c == '-'), c= getchar();
while (c >= '0' && c <= '9')
x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
if (flag)
x= -x;
read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
if (x < 0) {
x= ~(x - 1);
putchar('-');
}
if (x > 9)
write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef LOCAL
startTime= clock();
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef LOCAL
endTime= clock();
printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn= 5e6 + 9;
ll a[maxn];
ll f[maxn];
int n;
ll mod;
ll lowbits(ll x)
{
return x & (-x);
}
void update(int pos, ll val)
{
for (int i= pos; i < maxn; i+= lowbits(i)) {
a[i]= (a[i] + val) % mod;
}
}
ll query(int pos)
{
ll val= 0;
for (int i= pos; i; i-= lowbits(i)) {
val= (val + a[i]) % mod;
}
return val;
}
ll sum以上是关于cf1561D Up the Strip(D1&&D2)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
Codeforces Round #740 (Div. 2) D1. Up the Strip (simplified version)