漫步最优化四十二——Partan法

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在早期的最优化中,对于两变量函数来说,用最速下降法得出的解轨迹表征出zig-zag模式。对于某些性质较好的函数,相邻的解差不多组成两条线,他们在最小值的邻域内相交,如图1所示,因此比较明显的策略是连接初始点与第二个解,沿着这个方向执行最速下降法。对于凸二次函数,在 n 次迭代内就能收敛,这个方法也被称为parallel tangent法或着partan法,这是因为在二次函数的情况下,所得轮廓的正切属性。


图1

Partan算法如图2所示,假设初始点为x0,并利用两次最速下降法得到点 x1,y1 ,然后沿着 y1x1 方向进行线搜索得到点 x2 ,这就完成了第一次迭代。对于第二次迭代,对点 x2 执行最速下降得到点 y2 ,沿着 y2x1 方向得到点 x3 ,一直重复此过程。从效果上看,图2中的点 y1,y2, 是通过最速下降法得到的而 x2,x3, 是沿着方向 y2x1,y3x2, 方向用线搜索得到的。


图2

对于凸二次问题,连接 x1,x2,,xk 的线组成一个共轭梯度方向集,可以通过以下方法来证明:先假设 d0,d1,,dk1 是共轭梯度方向集,然后说明 dk d0,d1,,dk1 的共轭梯度方向。

考虑图3所示的步骤,注意到

gTkdi=0漫步最优化四十——Powell法(上)

漫步最优化四十——Powell法(上)

漫步最优化四十一——Powell法(下)

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