线性代数 抽丝剥茧系列之矩阵的秩与方程解的情况

Posted 2022-10-28

正文

1. 秩简介

对于方程Ax = b:

$$\\begincasesx_1 + x_2 +x_3= 12 \\x_1 - 3x_2 +x_3=8\\x_1 -x_2 +x_3= 10\\endcases$$

其对应的增广矩阵为：

$$\\overlineA = \\beginbmatrix1&1&1&|&12\\1&-3&1&|&8\\1&-1&1&|&10\\endbmatrix$$

通过初等行变换可以转化为：

$$\\beginbmatrix1&1&1&|&12\\1&-3&1&|&8\\0&0&0&|&0\\endbmatrix$$

可以看到其中第三行$r_3$可以由第一行$r_1$和第二行$r_2$线性表示，即$\\frac12r_1 + \\frac12r_2 = r_3$，所以真正决定Ax = b解的方程数量只有2个，即该方程对应的矩阵A的秩r(A) = 2。

2. 矩阵的秩与方程解的关系

矩阵的秩体现了方程解的情况，也可以反映出对应系数矩阵的信息

1. 当 r = m = n:

只有当矩阵A是方阵的时候才会满足，这意味着：

• 无论行或列都不存在线性相关，所有信息在完整的矩阵中才可以全部体现；

• 将矩阵A转化为矩阵U（行阶梯矩阵）或者矩阵R（行最简阶梯矩阵）的时候不会出现全部为0的行；

• 矩阵对应的行列式|A|是可逆的；

• 对于方程Ax = b来说有唯一解。

2. 当 r = n < m:

此时列满秩，说明矩阵中某些行向量可以由其他行向量线性表示，意味着：

• n < m表示有效方程数量大于未知量个数，即未知量少而方程多，行信息冗余；
• 对于未知量x的限制条件较多，方程Ax = b可能无解，也可能存在唯一解（当增广矩阵$\\overlineA$ 的秩与矩阵A的秩 相同）。

3. 当 r = m < n:

此时仅行满秩，说明矩阵中某些列向量可以由其他列向量线性表示，意味着：

• m < n表示列向量的个数代表未知量的个数，即方程少而未知量多，列信息冗余；
• 由于一个方程最多求解（限制）一个未知量，所以自由未知量的个数永远不为0，即对于任意b，方程Ax = b都有无穷多解。

4. 当 r < m, r < n:

• 此时行列均不满秩，根据上面的思路可以得到方程解的情况有：无解和无穷多解集。

附录 python求矩阵的秩

import numpy as np
 
A = np.array([[1, 1, 1], [2, -3, -1], [1, 1, 1]]).T
b = np.array([12, 8, 10])

# A的秩
print(f"矩阵A的秩为np.linalg.matrix_rank(A)")