一个方阵乘以一个常数等于?

Posted 2023-04-17

等于此方阵乘以一个对角阵, 该对角阵的对角元素等于该常数。 请问这个结论对吗? 如果对, 那么这个结论是定理吗? 谢谢！～～

参考技术A 这个
结论
是正确的，当然就是个
定理
一个
方阵
乘以一个
常数
实际上就等于将这个
矩阵
中的每个元素都乘以这个常数，
所以也等于此方阵乘以一个
对角阵
，该对角阵的每个
对角
元素都等于该常数。

线性代数A矩阵乘以A的转置的含义或者几何意义

我是在最小二乘法和SVD分解这部分知识中看到的，非常的迷惑，而且为什么A的转置乘以A的特征值是和A乘以A的转置的特征值是相同的呢
答案好的，重分！！

对于任意矩阵A（甚至是非方的），A(T)A（这个时候就变成方阵了，可以算特征值了）的特征值就称为A的奇异值。奇异值有个特性，就是A(T)A和AA(T)特征值相同。证明如下：

假定A(T)A做了一个特征分解，为：A(T)A = QΣQ(T)

对上式取转置，有AA(T) = QΣ(T)Q(T)

显然，Σ是个对角阵，因而，Σ(T) = Σ

故而，AA(T)和A(T)A有完全一致的特征分解，即共特征值。

扩展资料：

将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，......,最末一行变为最末一列， 从而得到一个新的矩阵N。

设A为n阶方阵，X=(x1，… ，xn)′，二次型f= X′AX的矩阵为：

解：因为未假设A对称，所以f= X′AX虽然是n元二次型，但不能肯定其矩阵是A。只有A对称时，二次型f= X′AX的矩阵才是A。

由于一阶矩阵的转置不变，所以(X′AX)′=X′AX，即就是：X′A′X= X′AX。

由此可得：f= X′AX= X′*1/2*(A+ A′)*X。

注意到1/2(A+ A′)是对称矩阵，所以二次型f= X′AX的矩阵为1/2(A+ A′)。

无论采用的设备多精密，方法有多好，总是会存在一些误差的。由于大的奇异值对应着矩阵中的主要信息，因此可以运用奇异值分解进行数据分析，提取矩阵的主要信息。

参考资料来源：百度百科——奇异值

参考资料来源：百度百科——转置

参考技术A

（下面以A(T)表示A的转置。）

先从奇异值说起。我个人的理解，奇异值是特征值的一种推广。因为只有方阵才可能具有特征值，对于实际遇到的一些问题（比如最小二乘问题），往往遇上长方阵，长方阵根本没有特征值。因而就有必要对特征值做推广，这就是奇异值。


再看什么是奇异值。对于任意矩阵A（甚至是非方的），A(T)A（这个时候就变成方阵了，可以算特征值了）的特征值就称为A的奇异值。奇异值有个特性，就是A(T)A和AA(T)特征值相同。证明如下：

【假定A(T)A做了一个特征分解，为：

A(T)A = QΣQ(T)

对上式取转置，有

AA(T) = QΣ(T)Q(T)

显然，Σ是个对角阵，因而，Σ(T) = Σ

故而，AA(T)和A(T)A有完全一致的特征分解，即共特征值】


再看特征值和奇异值的关系。对于长方阵来说，它根本不存在特征值，所以之后再讨论。对于方阵来说，容易证明，其所有奇异值恰好为其所有特征值的模长的平方（即奇异值全实非负），因而奇异值和特征值有相当良好的对应关系。证明如下：

【假定方阵A有如下特征分解：

A = QΣQ(T)

则A(T)A = (QΣQ(T))(QΣQ(T)) = QΣΣQ(T)

因而，A(T)A的特征值，也就是A的奇异值，恰好为A的特征值的模长的平方】

【当然，对于复数域情况，里边的T要改成H，那么前一个Σ自然会带上复共轭】


再看奇异值为什么重要。我们知道，对于一个方阵来说，特征分解后，从特征值和特征向量我们就可以知道矩阵的大量性质。对于非方阵来说，我们也希望得到一个这样信息量巨大的分解，这就是奇异值分解（SVD）。这个SVD分解里边左右奇异向量分别是什么你的书上肯定都有，就不写在这里了。

最后看一下SVD分解和最小二乘的关系。我们知道，最小二乘有个解法，对于Ax = b的最小二乘问题，等价于求解其法方程A(T)Ax = A(T)b，这个时候就变成方阵的问题了。但是这种算法是不稳定的。一种更为有效的算法就是SVD分解并利用广义逆求解。


看一下广义逆和最小二乘、SVD的关系。广义逆可以百度一下。定义有很多式子。但是，对于可逆阵来说，广义逆就是逆。这里把A的广义逆记作A(+)。则Ax = b的最小二乘解就是x = A(+)b。所以，现在的问题就是，怎么求A的广义逆A(+)。通过SVD分解，广义逆可以这么求：

如果A有SVD分解如下：

A = VΣU(T)

则A(+) = UΣV(T)

当然，这里叙述可能不那么严谨。因为还涉及到Σ的形状什么的，所以两个式子的Σ形状大小不一样，形状变了，补0就行。

因此，SVD分解就完美解决了最小二乘问题。

-----更正---------

说错了一点点，奇异值不是特征值的模长的平方，它就是模长，因为奇异值要对Σ(H)Σ对角线开算术平方根。

追问

那对于最小二乘法，为什么要在左右乘上A的转置进行求解呢？

追答

那种解法称作“法方程”解法。相当于求得一个x，使得A(T)(b-Ax)=0，也就是残差与矩阵A行向量的内积为0，即残差与矩阵A的行空间正交，由投影定理，可以证明，此时残差二范数最小。以上就是法方程的几何意义。法方程的解恰好是最小二乘解还有其他更严格的证明，比如泛函式的证明。但是，法方程法不是最佳解法。一般较优解法是QR分解法以及广义逆法（配合SVD分解）。手机打字有些慢。要是还有问题可以追问，明天我电脑上再接着说。

追问

QR分解如何做最小二乘法？

追答

QR分解确实可以做最小二乘。但是当时我没大学明白。后来我的最小二乘一直是用SVD+广义逆做的，所以我也搞不清楚了。

参考技术B SVD分解中，首先A'A为方阵，只有方阵才可以求特征值。A'A与AA'具有相同的非零特征值，这个可以通过构造分块矩阵的行列式证明。追问

求证明...那最小二乘法中的A的转置与A相乘呢？

参考技术C 最小二乘法的时候也可以不从“两边乘转置之后再求解”。
我们写成矩阵之后假如是Y=Xb+e YXb都是矩阵，e是那个误差（error）
所以e=Y-Xb,要求(Y-Xb)^2的最小值，(Y-Xb)^2=(Y-Xb)'(Y-Xb)=-2X'(Y-Xb) 这一步就是公式变换
另 -2X'(Y-Xb) =0 就可以求解b了 参考技术D The London and South Western Railway seemed