模拟退火算法详细讲解以及实践应用
Posted 一大口奶酪
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了模拟退火算法详细讲解以及实践应用相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1.模拟退火算法简介
模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
2.模拟退火算法模型
模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想:
(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
(3) 产生新解S′
(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l
收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
3.模拟退火算法简单应用
作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：
设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j)
i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
3.1解空间
解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数： 我们要求此代价函数的最小值。
新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将
(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
变为：
(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
如果是k>m，则将：
(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
变为：
(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
Procedure TSPSA:
begin
init-of-T; { T为初始温度}
S={1，……，n}; {S为初始值}
termination=false;
while termination=false
begin
for i=1 to L do
begin
generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
S=S′;
IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
termination=true;
End;
T_lower;
End;
End
模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
4.模拟退火算法的参数控制问题
模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
(1) 温度T的初始值设置问题。
温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
(2) 退火速度问题。
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
(3) 温度管理问题。
温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：T(t+1)＝k×T(t)
式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数。
5.模拟退火算法举例
5.1 模拟退火算法求解旅行商问题
初始温度的选取方法：
选取一个确定值：280度
状态被接受的条件：
如果delta f < 0, 则At = 1，否则At = exp(-delta f / t)
降温算法：
采用等比例下降的方法，比例系数为0.95
同一温度内计算结束的条件：
在每个温度下采用固定的迭代次数，Lk=100n，n为城市数；
算法结束条件：
当相邻三个温度得到的解无任何变化时算法停止。
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
//记录坐标的结构类型
struct dis
{
double x,y;
};
const double epsln = 0.000001;
const double p0 = 0.95;
const int MAX_COUNT = 2;
dis citys[20]; //城市的坐标,用数组记录
int n; //城市数目
double t0; //初始温度
double bestLength; //最优解
double preLength; //前一次的解，用来判断结束条件
double currentLength; //当前解
int loop; //循环次数
string bestPath; //城市路径，根据两个输入数据都顺序用一位字符表示城市名的情况，可以用字符串记录路径。
string currentPath; //每次得到的当前城市路径
double distance(char a, char b)
{
double dis = sqrt((citys[a - \'A\'].x - citys[b - \'A\'].x) * (citys[a - \'A\'].x - citys[b - \'A\'].x)
+ (citys[a - \'A\'].y - citys[b - \'A\'].y) * (citys[a - \'A\'].y - citys[b - \'A\'].y));
return dis;
}
double pathLength(string p)
{
double length = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++)
length += distance(p[i], p[i + 1]);
return length;
}
//读入文件中的城市坐标数据
void readData()
{
string fileName;
cout << "请输入文件名：";
cin >> fileName;
ifstream fin(fileName.data());
fin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
citys[i].x = 0;
citys[i].y = 0;
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
char city;
double x,y;
fin >> city >> x >> y;
citys[(int)(city - \'A\')].x = x;
citys[(int)(city - \'A\')].y = y;
}
fin.close();
}
//设置各项参数
void setup()
{
t0 = 280; //初始温度
loop = 100 * n; //每一个温度的循环次数
bestPath = "";
for (int i = 0; i < n; i++)
bestPath = bestPath + (char)(i + \'A\');
bestPath = bestPath + bestPath[0]; //初始化路线序列
cout << "\\n初始状态: " << bestPath.substr(0, n);
cout << "\\n起始温度: " << t0;
bestLength = pathLength(bestPath); //初始化最优解
}
void shuffle(int rand1, int rand2)
{
if(rand1 > rand2)
{
int temp = rand1;
rand1 = rand2;
rand2 = temp;
}
for(int i = 1; i <= (rand2 - rand1 - 1) / 2; i ++)
{
char temp = currentPath[rand1 + i];
currentPath[rand1 + i] = currentPath[rand2 - i];
currentPath[rand2 - i] = temp;
}
}
//判断当前解是否满足接受的概率
bool proAccept(double bestLength, double currentLength, double t)
{
double 模拟退火算法案例记录（附带详细源码）