HDOJ：6333-Problem B. Harvest of Apples(组合数学+莫队算法+逆元）

Posted 2020-12-29 GoldenFingers

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6333

 

解题心得：

• 这个题可以说是十分精彩了，首先推组合数学的公式，其中一个很重要的公式是C_n^m = C^m_n-1 + C^m-1_n-1  这个公式知道杨辉三角的都明白，但是一看发现似乎没啥用。但是可以以这个公式为基础继续推演下去。
• 设S_n^m = C_n¹ + C_n² + C_n³ + ...... C_n^m 然后继续使用上面的基本公式可以化成
• S_n ^m-1 = S_n ^m - C_n ^m
  S_n ^m+1 = S_n ^m + C_n ^m+1
  S_n+1 ^m = 2S_n ^m - C_n ^m
  S_n ^m = （S_n+1 ^m + C_n ^m)/2
• 这些个公式看起来没啥用，但是知道S的关系之间可以通过O(1)的复杂度来进行转化，这样就可以将10⁵次询问离线化处理，也就是用莫队来维护。神奇阿，想破脑袋就是想不到阿。里面的除法取余的操作用逆元来处理，逆元可以先全与预处理出来。

 

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//        ┃　　　┃   神兽保佑
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+100;
const int MOD = 1e9+7;
typedef long long ll;

struct Query {
    ll n, m, B, pos, ans;
}q[maxn];

ll unit, ans, fac[maxn], inv[maxn], t, rev2;

ll quick_pow(ll a, ll b) {
    ll res = 1;
    while(b) {
        if(b&1)
            res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

void get_fac() { //预处理出阶乘和逆元
    fac[0] = 1;
    fac[1] =1;
    for(int i=2;i<maxn;i++) {
        fac[i] = i * fac[i-1] % MOD;
    }

    //神奇的操作
    inv[maxn-1] = quick_pow(fac[maxn-1], MOD-2);
    for(int i=maxn-2;i>=0;i--) {
        inv[i] = inv[i+1] * (i + 1) % MOD;
    }
}

bool cmp1(Query a, Query b) {
    if(a.B == b.B)
        return a.m < b.m;
    return a.B < b.B;
}

bool cmp2(Query a, Query b) {
    return a.pos < b.pos;
}

void init() {
    unit = sqrt(maxn);
    get_fac();
    scanf("%lld", &t);
    for(int i=0;i<t;i++) {
        scanf("%lld%lld", &q[i].n, &q[i].m);
        q[i].B = q[i].n/unit;
        q[i].pos = i;
    }
    rev2 = quick_pow(2, MOD-2);
    sort(q, q+t, cmp1);
}

ll C(ll n, ll m) {//得到c(n, m)的组合
    ll ans = fac[n] * inv[n-m] % MOD * inv[m] % MOD;
    return ans;
}

void addL(ll l, ll r) {
    ans = ((2 * ans % MOD) + MOD - C(l, r)) % MOD;
}

void cutL(ll l, ll r) {
    ans = (ans + C(l-1, r) % MOD) * rev2 % MOD;
}

void addR(ll l, ll r) {
    ans = (ans + C(l, r+1)) % MOD;
}

void cutR(ll l, ll r) {
    ans = (ans + MOD - C(l, r)) % MOD;
}

int main() {
    init();
    ll l=1, r = 1;
    ans = 2;
    for(int i=0;i<t;i++) {//离线莫队处理
        int L = q[i].n;
        int R = q[i].m;
        while(l < L) addL(l++, r);
        while(l > L) cutL(l--, r);
        while(r > R) cutR(l, r--);
        while(r < R) addR(l, r++);

        q[i].ans = ans;
     }
    sort(q, q+t, cmp2);
    for(int i=0;i<t;i++) {
        printf("%lld
",q[i].ans);
    }
    return 0;
}