为 L = (na(w)-nb(w)) mod 3>0 构造 DFA

Posted 2023-02-25

【中文标题】为 L = (na(w)-nb(w)) mod 3>0 构造 DFA

【英文标题】：Construct DFA for L = (na(w)-nb(w)) mod 3>0为 L = (na(w)-nb(w)) mod 3>0 构造 DFA

【发布时间】：2018-03-18 04:18:56

【问题描述】：

根据标题：

L = (n_a(w)-n_b(w)) mod 3>0

字母 = a,b

我找到了这个问题的两个答案：

在此解决方案中，我们的语言被接受。

然而，

w = b

也被接受。

在下一个解决方案中：

我们的问题

w = b

在这里解决了，但是

w = aaab

不被接受。

我该如何解决这个问题？我在互联网上找不到合适的答案。

【问题讨论】：

接受b有什么问题？

我不确定-1 mod 3 是否可以接受。应该吗？

取决于您的mod 是如何定义的。 -1 mod 3 -1 或 2 在你的系统中吗？

我以为是-1。不过，我明白你的意思。如果 -1 mod 3 = 2，自动机 1 是正确的。如果我们在系统中定义-1 mod 3 = -1，是否仍然可以构造这个DFA？

我不确定。我的直觉是不，因为这看起来非常令人兴奋。

【参考方案1】：

假设我们有以下mod的定义：

x mod y =        x,       if 0 <= x < y
            (x - y) mod y, if 0 <  y <= x
                  x,       if -y < x < 0
            (x + y) mod y, if x <= -y < 0
            -(-x mod -y)   if y < 0
          

所以我们的模数是这样工作的：

3 mod 5 = 3
6 mod 5 = 6-5 mod 5 = 1 mod 5 = 1
-3 mod 5 = -3
-6 mod 5 = -6+5 mod 5 = -1 mod 5 = -1
-6 mod -5 = -(6 mod 5) = -1
6 mod -5 = -(-6 mod 5) = -(-1) = 1

我们的语言是 L = (n_a(w) - n_b(w)) mod 3 > 0

让我们定义A := n_a(w) 和B := n_b(w)。所以我们需要使用mod的定义来解决(A - B) mod 3 > 0。我们有五个案例：

如果 0 0 false，所以我们可以排除这种可能性。

如果 0 = 3 + B，则 (A - B) mod 3 = (A - B - 3) mod 3。根据假设，A - B - 3 >= 3 + B - B - 3 >= 0，所以我们仍然处于情况 1 或 2。如果我们仍然处于情况 2，我们可以重复此过程直到我们最终达到案例 1，我们将看到我们不能有 A - B - 3k = 0；也就是说，对于任何正的 k，它不可能是 A = B + 3k。

如果 -3

如果 A - B

我们不可能在这种情况下，因为 3 > 0。

我们不得不从我们的语言中去掉以下字符串：

A = B A = B + 3k A

所以我们只保留 a 多于 b 的字符串，其中 A - B 不能被 3 整除。假设这种语言是正则的。考虑语言中的字符串 (b^p)(a^(p+1))。根据抽水引理，我们应该可以抽bs的数量；但是我们可以得到比as更多的bs。所以语言不可能是正则的。

如果我们对x mod y 采用更常见的定义（不一定更正确）：

x mod y =         x       , if 0 <= x < y
                (x - y)    , if 0 < y <= x
            (x + y) mod y  , if -y < x < 0
            -(-x mod -y)   , if y < 0
          

根据这个定义：

在情况 1 中，我们抛出 A = B 在情况 2 中，我们抛出 A = B + 3k 在情况 3 中，我们抛出 A = B - 3k 由于 3 > 0，案例 4 不适用

现在我们只排除了 A mod B = 0 (mod 3) 的情况。这种语言是常规的并且具有 DFA：

    +------------a-------------+
    |                          |
    |  +---b----+  +---b----+  |
    |  |        |  |        |  |
    V  V        |  V        |  |
    (q0)---a--->(q1)---a--->(q2)
--->(q0)
    (q0)---b--->(q3)---b--->(q4)
    ^  ^        |  ^        |  |
    |  |        |  |        |  |
    |  +---a----+  +---a----+  |
    |                          |
    +------------b-------------+