在字符串中找到完美的正方形

Posted 2023-02-23

【中文标题】在字符串中找到完美的正方形

【英文标题】：Find the perfect square in the string

【发布时间】：2013-02-14 10:22:19

【问题描述】：

一个完美的正方形被取为二进制，一些位被替换为“？”例如 1??，数字将是 4.（或 1????000???0000）

我需要找到那个完美的正方形。（只有这样可能的数字）

字符串中 '?' 的个数为 n

要找到这个数字，我正在做的是遍历 2**n 个数字（111,110,101,100）并检查它是否是一个完美的正方形。我正在使用以下函数来检查它是否是一个完美的正方形。

bool issqr(int n)
   int d=(int)(sqrt(n));
   if(d*d==n) return true;
   else return false;

虽然我在 python 中做到了，但它需要很多时间，所以我转移到 C++，只使用位操作来填充 2**n 个数字（这比 python 版本快得多）

但如果数字超过 64 位，则会失败

如何避免这个问题？如果一个数字有 120 位，我怎么能做同样的事情。

(10100110???1?1?01?1?011000?1100?00101000?1?11001101100110001010111?0?1??0110?110?01?1100?1?0110?1?10111?01?0111000 ?10??101?01)

【问题讨论】：

除了最高位之外都被“？”替换了还是可以有更复杂的模式，例如 1??1??1 ？

请添加一个120位的例子

这类问题的制定，使得蛮力是不合理的。它们需要数学简化和算法洞察力。

【参考方案1】：

您应该首先考虑改进算法，而不是用 C++ 重写。最低可能的答案是原始值的平方根，所有“？”替换为四舍五入的 0，可能的最高答案是模式的平方根，将 '? 替换为向下舍入的 1。找到这两个值，遍历它们，平方并检查模式。

这更快，因为您迭代的数字要少得多，而且因为您没有在循环中计算任何平方根：平方要容易得多。

你不需要比较字符串来检查匹配：

mask = int(pattern.replace('0', '1').replace('?', '0'), 2)
test = int(pattern.replace('?', '0'), 2)

def is_match(n):
    return (n&mask)==test

所以把它们放在一起：

def int_sqrt(x):
    if x < 0:
        raise ValueError('square root not defined for negative numbers')
    n = int(x)
    if n == 0:
        return 0
    a, b = divmod(n.bit_length(), 2)
    x = 2**(a+b)
    while True:
        y = (x + n//x)//2
        if y >= x:
            return x
        x = y

def find_match(pattern):
    lowest = int(pattern.replace('?', '0'), 2)
    highest = int(pattern.replace('?', '1'), 2)
    mask = int(pattern.replace('0', '1').replace('?', '0'), 2)
    lowsqrt = int_sqrt(lowest)
    if lowsqrt*lowsqrt != lowest:
            lowsqrt += 1
    highsqrt = int_sqrt(highest)
    for n in range(lowsqrt, highsqrt+1):
        if (n*n & mask)==lowest:
            return n*n

print(find_match('1??1??1'))
print(find_match('1??0??1'))
print(find_match('1??????????????????????????????????????????????????????????????????????1??0??1'))

输出：

121
81
151115727461209345152081

注意这仅适用于 Python 3.x，最后一个测试将在 Python 2.x 中溢出range

【讨论】：

如果一个数字有 120 位并且说 70 “？”检查数字是否具有相同的模式需要更多时间，因为我在这里处理字符串。相反，我只喜欢具有相同模式的数字。

如果数字有 120 位，您将不得不编写自己的 sqrt 或使用大数字库。

如果你有 120 位和 70 个“？”那么任何类型的搜索都需要很长时间。

@Duncan 我不能使用按位运算，对吗？如何更改代码的最后两行？

为什么不能使用按位运算？这似乎是一个奇怪的限制

【参考方案2】：

据我了解，给定一个整数 n，您正试图找到一个平方数 sq 匹配：

2ⁿ - 1 n+1 - 1

这个条件是“我的号码必须是 1????”的数学翻译。哪里有n“？”。

首先，您可以注意到，如果n 是偶数，则数字 2ⁿ 是一个完全平方并且符合您的条件（在二进制中，它是数字 1000...000 - n零 -)。

如果n 是不均匀的（比如n = 2.p + 1），那么2ⁿ⁺¹ 是一个完美的正方形（(2^p+1) ²）。计算以下数字将为您提供一个完美的正方形：

(2^p+1 - 1)²

要满足第一个不等式，p 必须满足：

2ⁿ - 1 p+1 - 1)²

然后

0 n+1 - 2^p+2 + 1 - 2ⁿ + 1,

最后，

2ⁿ + 2 - 2^p+2 > 0 或者 2^2p - 2^p+1 + 1 > 0

如果我们考虑将 p 与 f(p) 匹配的函数：

f(p) = 2^2p - 2^p+1 + 1

这个函数是为每个正实数定义的，并且是严格递增的。此外，f(0) = 0。最后，当p > 0 时满足初始条件！ 对于p = 0 - 或n = 1 -，问题没有有效的解决方案。

【讨论】：

@Anil 我在您编辑问题之前发布了答案。你接受的答案是你最好的选择

【参考方案3】：

你不需要遍历所有的 2**n 个数字来找到完美的平方，实际上你只需要一个小数平方操作：

假设您有整数 n，并且您想找到小于或等于 n 的最大完美正方形，我们将其称为 m。 那么：

d = (int)sqrt(n);
m = d*d;

解释：

假设有一个完美的正方形 m' 比 m 大，这意味着有一个整数 d' 使得：d' > d 并且 d'*d' = m'。

但是 d' >=d+1 和 (d+1)*(d+1) > n 所以 m' > n 与我们的要求 m'

现在回答你的问题：

为了找到完美的正方形，只需将所有“？”更改为“1”。并找到完美的正方形，如果它符合你的字符串，你得到了你正在寻找的数字，如果没有改变足够的“？”从 msb 到 "0" 使结果数小于或等于您刚刚找到的完美正方形，并继续前进，直到找到完美正方形或用完选项。

【讨论】：

问题中不清楚除了一位之外的所有内容是否都被问号替换（在这种情况下您的答案是正确的），或者是否可能存在诸如1??0??1 之类的模式哪种情况会更复杂。

@Eli Algranti 并不是说​​您只会有一个这样的数字，即使那样它也可能没有相同的位模式。

抱歉在完成答案之前一直点击保存

@Eli 问题不在于算法，而在于处理 120 位整数。

@Anil 你在 python 上是如何应对的？为此，您需要编写自己的大数字库（不是一件容易的事）或使用可用的库（例如 gmplib.org/manual/Integer-Roots.html#Integer-Roots）

【参考方案4】：

您的操作可能返回对于整数来说太大的东西... http://www.cplusplus.com/doc/tutorial/variables/

【讨论】：

你的回答是错误的。位域结构不能超过 int 的大小。