BGL - 确定所有的mincuts

Posted 2023-02-21

【中文标题】BGL - 确定所有的mincuts

【英文标题】：BGL - determine all mincuts

【发布时间】：2015-10-15 12:53:13

【问题描述】：

给定一个图，我想找到所有的边（如果有的话），如果删除的话，图就会分成两个部分。

最初的想法是为所有边分配 1 的权重，然后计算图的最小割。 mincut > 1 意味着没有一条边在被移除时会导致分裂。

对于 mincut == 1，如果算法能够为每个 mincut 提供它所包含的边，那就太好了。

不幸的是，BGL 似乎不支持那种东西：

stoer_wagner_min_cut 函数精确地确定最小切割之一及其权重。

(http://www.boost.org/doc/libs/1_59_0/libs/graph/doc/stoer_wagner_min_cut.html)

有没有办法通过 BGL 来完成这项工作（即确定不止一个 mincut），还是我必须想出一些不同的方法？

【问题讨论】：

所以你想找到所有的切割都只有一条边？我希望 boost 支持检查连通性，因此如果仅删除该边，您应该能够检查每个边是否保持连接。或者，Tarjan's algorithm to find bridges 会更快；也许检查一下是否在boost中实现，或者你可以自己实现它，它的描述似乎并不复杂。

检查每个边缘的连接性不是一个巨大的开销吗？感谢塔扬。但是，如果我后来想修改算法以检查 - 在没有桥的情况下 - 对（e0，e1）边的删除会分裂图形怎么办？每个边缘不能很好地运行一次 tarjan，可以吗？

在这种情况下你想要k-connectivity，这通常可以使用流网络解决，但我不确定如何有效地检查所有 k 边删除的集合，这会断开图表。也许对于biconnectivity 有一些东西，但你必须调查一下。

【参考方案1】：

这可能来得有点晚……

据我所知，您只需要找到图中不属于任何循环的所有边（假设图已经连接）。

这可以通过迭代删除叶节点（以及连接到它们的边）来完成，就像你在topological sorting 中所做的那样，直到没有叶节点，即剩余图中的每条边都属于至少一个循环。在此过程中删除的所有边缘都将是您想要的。

在伪代码中，对于连通无向图G=(V,E)，您可以这样做：

S = Ø
while(there exists a node n∈V s.t. degree(n)==1)
    e = edge connected to n
    S = S∪e
    E = E-e
    V = V-n
return S

这可以在 O(|V|+|E|) 时间内完成