按位异或（异或）是啥意思？

Posted 2023-02-21

【中文标题】按位异或（异或）是啥意思？

【英文标题】：What does bitwise XOR (exclusive OR) mean?按位异或（异或）是什么意思？

【发布时间】：2011-09-17 21:53:06

【问题描述】：

我正在尝试理解 C# 或一般情况下的二元运算符，特别是 ^ - exclusive or。

例如：

给定一个正整数数组。除了一个出现奇数次的数字外，所有数字都出现偶数次。求 O(n) 时间和常数空间中的数。

这可以用 ^ 来完成，如下所示： 对所有元素进行按位异或。最后我们得到奇数出现的数字。

它是如何工作的？

当我这样做时：

int res = 2 ^ 3;  
res = 1;  
int res = 2 ^ 5;  
res = 7;  
int res = 2 ^ 10;  
res = 8;  

实际发生了什么？其他的魔法是什么？有什么参考资料我可以查找并了解更多关于它们的信息吗？

【问题讨论】：

是没有进位的二进制加法。 0+0 = 0、1+0=1、0+1=1 和 1+1=0（无进位）。 1+1 的正常二进制加法是 0 进位 1。

【参考方案1】：

要了解它是如何工作的，首先您需要将两个操作数都写成二进制，因为按位运算适用于各个位。

然后您可以为您的特定运营商应用truth table。它作用于两个操作数中具有相同位置（相同位置值）的每一对位。所以A 的最左边位（MSB）与B 的MSB 结合起来产生结果的MSB。

示例：2^10：

    0010 2
XOR 1010 8 + 2
    ----
    1    xor(0, 1)
     0   xor(0, 0)
      0  xor(1, 1)
       0 xor(0, 0)
    ----
 =  1000 8

结果是 8。

【参考方案2】：

位运算符将整数值内的位视为位的小数组。这些位中的每一个都像一个微小的bool 值。当您使用按位异或运算符时，对运算符作用的一种解释是：

对于第一个值中的每个位，如果设置了第二个值中的相应位，则切换该位

最终结果是单个位以false 开头，如果“切换”的总数是偶数，则最后仍将是false。如果“toggles”的总数是奇数，最后会是true。

只要想一想“布尔值的小数组”，它就会开始变得有意义。

【参考方案3】：

另一种显示方式是使用 XOR 的代数；您无需了解有关单个位的任何信息。

对于任意数字 x、y、z：

XOR 是可交换的：x ^ y == y ^ x

XOR 是关联的：x ^ (y ^ z) == (x ^ y) ^ z

身份为0：x ^ 0 == x

每个元素都有自己的逆：x ^ x == 0

鉴于此，很容易证明所陈述的结果。考虑一个序列：

a ^ b ^ c ^ d ...

由于 XOR 是可交换的和关联的，所以顺序无关紧要。所以对元素进行排序。

现在任何相邻的相同元素x ^ x 都可以替换为0（自逆属性）。并且任何0 都可以删除（因为它是身份）。

尽可能多地重复。任何出现偶数次的数字都有整数对，所以它们都变成0并消失。

最终你只剩下一个元素，即出现奇数次的元素。每次出现两次，那两个就消失了。最终只剩下一次。

[更新]

请注意，此证明仅需要对操作进行某些假设。具体来说，假设具有运算符. 的集合 S 具有以下属性：

关联性：x . (y . z) = (x . y) . z 用于 S 中的任何 x、y 和 z。

身份：存在单个元素 e，使得 S 中所有 x 的 e . x = x . e = x。

闭包：对于 S 中的任何 x 和 y，x . y 也在 S 中。

自逆：对于 S 中的任何 x，x . x = e

事实证明，我们不需要假设交换性；我们可以证明：

(x . y) . (x . y) = e  (by self-inverse)
x . (y . x) . y = e (by associativity)
x . x . (y . x) . y . y = x . e . y  (multiply both sides by x on the left and y on the right)
y . x = x . y  (because x . x = y . y = e and the e's go away)

现在，我说“您不需要了解有关单个位的任何信息”。我在想任何满足这些属性的组就足够了，而且这样的组不一定与 XOR 下的整数同构。

但@Steve Jessup 在 cmets 中证明我错了。如果您将标量乘以 0,1 定义为：

0 * x = 0
1 * x = x

...那么这个结构满足所有的 axioms of a vector space 超过整数 mod 2。

因此，任何这样的结构都同构于按组件异或的一组位向量。

【讨论】：

它有这个代数，因为它只是在向量空间中的 2 阶素数域上的加法。那是因为在那个域中，当且仅当恰好其中一个值时，两个值的总和为 1和为 1。当且仅当其中一个操作数为真时，两个布尔值的逻辑 XOR 为真。所以逻辑异或是字段中的加法，然后“按位”使其成为向量空间。

@Steve：公平点。这就引出了一个有趣的问题……任何遵守这些关系的组都将具有问题中确定的属性。但是对于某些 n，所有这些组是否都与 (Z/2Z)^n 同构？

@Nemo：这可能取决于您所说的n 是什么意思。例如，考虑在该域上具有无限基的向量空间。

@Steve：好的，那就叫它有限群吧。换句话说，如果一个有限群是关联的、交换的和自逆的，它必然同构于 0,1 上的某个 n 维向量空间？

我认为是的，是的 - 如果我们采用具有这些属性的任何组并定义明显的标量乘法，那么我们在该字段上就有一个向量空间。它是否一定有维度等同于选择公理（证明在一个方向上比在另一个方向上更容易），但如果它是有限的，那么它肯定会:-)

【参考方案4】：

XOR（异或）运算符的定义是：

0 XOR 0 = 0
0 XOR 1 = 1
1 XOR 0 = 1
1 XOR 1 = 0

一种想象的方式，就是说右边的“1”改变了左边的位，右边的0不改变左边的位。但是，XOR 是可交换的，所以如果两边颠倒也是如此。 由于任何数字都可以用二进制形式表示，因此任何两个数字都可以进行异或运算。

为了证明它是可交换的，你可以简单地看一下它的定义，并看到对于两边的每个位组合，如果边改变，结果是相同的。为了证明它是关联的，您可以简单地遍历所有可能的 3 位相互异或的组合，无论顺序如何，结果都将保持不变。

现在，正如我们上面所证明的那样，让我们​​看看如果我们对同一个数字进行异或运算会发生什么。由于该操作适用于单个位，因此我们可以仅对两个数字进行测试：0 和 1。

0 XOR 0 = 0
1 XOR 1 = 0

所以，如果你将一个数字与自身异或，你总是得到 0（信不信由你，但编译器已经使用了 XOR 的这个属性，当需要将 0 加载到 CPU 寄存器中时。执行速度更快一个位操作，而不是将 0 显式地压入寄存器。编译器只会生成汇编代码来异或一个寄存器到它自己）。

现在，如果 X XOR X 为 0，并且 XOR 是关联的，并且您需要找出在所有其他数字都已重复两次（或任何其他奇数次）的数字序列中没有重复的数字）。如果我们将重复的数字放在一起，它们将异或为 0。任何与 0 异或的东西都将保持其自身。因此，在对这样的序列进行异或运算后，您最终会得到一个不重复（或重复偶数次）的数字。

【参考方案5】：

This 有很多通过位摆弄完成的各种功能的示例。有些可能非常复杂，所以要小心。

要了解位操作，您至少需要做的是：

二进制形式的输入数据 一个真值表，告诉您如何“混合”输入以形成结果

对于异或，真值表很简单：

1^1 = 0
1^0 = 1
0^1 = 1
0^0 = 0

要在结果中获得位 n，请将规则应用于第一个和第二个输入中的位 n。

如果您尝试计算1^1^0^1 或任何其他组合，您会发现如果有奇数个1，结果为1，否则为0。您还会发现任何与自身异或的数字都是 0，这与您进行计算的顺序无关，例如1^1^(0^1) = 1^(1^0)^1.

这意味着当您对列表中的所有数字进行异或运算时，重复（或出现偶数次）的数字将异或为 0，而您将只剩下出现奇数个的数字次。

【参考方案6】：

我知道这是一篇相当老的帖子，但我想简化答案，因为我在寻找其他内容时偶然发现了它。 XOR（异或/或），可以简单翻译为切换开/关。 这将排除（如果存在）或包括（如果不存在）指定的位。

使用 4 位 (1111) 我们从 0-15 得到 16 个可能的结果：

 decimal | binary | bits (expanded)
       0 | 0000   | 0
       1 | 0001   | 1
       2 | 0010   | 2
       3 | 0011   | (1+2)
       4 | 0100   | 4
       5 | 0101   | (1+4)
       6 | 0110   | (2+4) 
       7 | 0111   | (1+2+4)
       8 | 1000   | 8
       9 | 1001   | (1+8)
      10 | 1010   | (2+8)
      11 | 1011   | (1+2+8)
      12 | 1100   | (4+8)
      13 | 1101   | (1+4+8)
      14 | 1110   | (2+4+8)
      15 | 1111   | (1+2+4+8)

二进制值左侧的decimal value 是用于异或和其他按位运算的数值，表示相关位的总值。请参阅Computer Number Format 和Binary Number - Decimal 了解更多详情。

例如：0011 是第 1 位和第 2 位为打开，第 4 位和第 8 位为关闭。它表示为3 的十进制值以表示打开的位，并以扩展形式显示为1+2。

---

至于 XOR 背后的逻辑发生了什么，这里有一些例子 来自原帖

2^3 = 1

2 是 1+2 的成员 (3) remove 2 = 1

2^5 = 7

2 不是 1+4 的成员 (5) 添加 2 = 1+2+4 (7)

2^10 = 8

2 是 2+8 的成员 (10) 删除 2 = 8

---

更多示例

1^3 = 2

1 是 1+2 的成员 (3) 删除 1 = 2

4^5 = 1

4 是 1+4 的成员 (5) remove 4 = 1

4^4 = 0

4 是自身的成员 remove 4 = 0

1^2^3 = 0逻辑：((1^2)^(1+2))

(1^2) 1 不是 2 的成员 add 2 = 1+2 (3) (3^3) 1 和 2 是 1+2 (3) 删除 1+2 (3 ) = 0

1^1^0^1 = 1 逻辑：(((1^1)^0)^1)

(1^1) 1 是 1 的成员 remove 1 = 0 (0^0) 0 是 0 的成员 remove 0 = 0 (0^1) 0 不是 1 的成员 add 1 = 1

1^8^4 = 13 逻辑：((1^8)^4)

(1^8) 1 不是 8 的成员 add 1 = 1+8 (9) (9^4) 1 和 8 不是 4 的成员添加 1+8 = 1+4+8 (13)

4^13^10 = 3 逻辑：((4^(1+4+8))^(2+8))

(4^13) 4 是 1+4+8 的成员 (13) 删除 4 = 1+8 (9) (9^10) 8 是 2+8 的成员 (10) remove 8 = 2 1 不是 2+8 的成员 (10) 添加 1 = 1+2 (3)

4^10^13 = 3 逻辑：((4^(2+8))^(1+4+8))

(4^10) 4 不是 2+8 的成员 (10) 添加 4 = 2+4+8 (14) (14^13) 4 和 8 是 1+4+8 的成员 (13) 删除 4+8 = 1 2 不是 1+4+8 的成员 (13) 添加 2 = 1+2 (3)

【讨论】：

您仍然获得 +1。感谢新用户和好奇者的努力。

太棒了。你是从哪里知道这个的？可以给学习其他按位运算一些参考吗？

@user132458 老实说，这正是我对按位运算如何工作的理解。最佳资源取决于您的用例，例如程序语言。 EG：C# vs php vs Python，以及它们如何利用按位运算及其局限性。然而，就一般的按位运算而言，wiki 是一个不错的资源en.wikipedia.org/wiki/Bitwise_operation。

在 2^5 中，你说 “2 不是 1+4 (5) add 2 = 1+2+4 (7)”的成员。但是为什么你认为 5 是 1+4 而不是 2 + 3？在这种情况下，2 将是 2+3 的成员。我没有得到这部分。

没有比这更好的解释了。

【参考方案7】：

这是基于一个简单的事实，即数字与自身的异或结果为零。

一个数字与 0 的 XOR 得到数字本身。

所以，如果我们有一个数组 = 5,8,12,5,12。

5 发生了 2 次。 8 发生 1 次。 12 发生了 2 次。

我们必须找到出现奇数次的数字。显然，8 是数字。

我们从 res=0 开始，并对数组的所有元素进行 XOR。

int res=0; for(int i:array) res = res ^ i;

    1st Iteration: res = 0^5 = 5
    2nd Iteration: res = 5^8 
    3rd Iteration: res = 5^8^12
    4th Iteration: res = 5^8^12^5 = 0^8^12 = 8^12
    5th Iteration: res = 8^12^12 = 8^0 = 8

【讨论】：

感谢您的精彩解释！

感谢您的精彩解释！

这就是我要找的。谢谢！

【参考方案8】：

从名称（按位）很明显，它在位之间运行。 让我们看看它是如何工作的， 例如，我们有两个数字 a=3 和 b=4， 3 的二进制表示是 011，4 的二进制表示是 100，所以基本上相同位的异或是 0，相反位的异或是 1。 在给定的示例 3^4 中，“^”是一个异或符号，将给我们 111，其十进制值为 7。 再举一个例子，如果你给了一个数组，其中每个元素都出现两次，除了一个元素，你必须找到那个元素。 你怎么能那样做？相同数字的简单异或将始终为 0，并且恰好出现一次的数字将是您的输出。因为任何一个带有 0 的数字的输出都将是同名数字，因为该数字将设置零没有的位。