子集和问题的这个变体更容易解决吗？

Posted 2023-03-31

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【中文标题】子集和问题的这个变体更容易解决吗？【英文标题】：Is this variant of the subset sum problem easier to solve? 【发布时间】：2010-09-27 10:07:03 【问题描述】：

我有一个与 subset sum problem 相关的问题，我想知道这些差异是否使它更容易，即可以在合理的时间内解决。

给定一个值 V、一个集合大小 L 和一个数字序列 [1,N] S，S 的多少个大小为 L 的子集总和小于 V？

这在三个方面不同于子集和问题：

小于

等于

有多少

有没有合理有效的算法来解决这个问题？

编辑：显然，这可以使用组合生成算法在 O(N choose L) 中完成。我真正感兴趣的是可以显着加快速度的巧妙技巧。

【问题讨论】：

这不只是 Knapsack problem 的扭曲吗？可能是我错了。 【参考方案1】：

（决策版本）您的问题仍然是 NP 完全的。这个想法是，如果我们可以解决您的问题，那么（例如，对于每个子集大小）我们可以询问有多少个集合总和小于 V，有多少总和小于 V-1，这两个数字的差将告诉我们是否是子集的总和正好为 V——因此我们可以解决子集和问题。 [这不是一个完整的证明，因为它是Turing reduction，而不是many one reduction。]

但是，有一个简单的动态规划解决方案可以在 O(nLV) 时间内运行。 [这不能证明 P=NP 的原因是 V 可以是输入大小的指数：使用 n 位，您可以表示高达 2ⁿ 的值。但假设你的 V 不是指数的，这不是问题。]

令 num[v][k][i] 表示 S 的前 i 个元素的大小为 k 的子集的数量，它们的总和为 v。您可以将它们计算为（对于每个 i）：

    num[0][0][i] = 1
    for v = 1 to V:
        for k = 1 to L:
            num[v][k][i] = num[v][k][i-1] + num[v-S[i]][k-1][i-1]

其中 S[i] 是序列中的第 i 个元素。（总和为 v 的任何大小 k 集合要么不使用 S[i]，所以它被计入 num[v][k][i-1]，或者它使用 S[i]，这意味着其余的该子集有 k-1 个元素，仅使用序列中的前 i-1 个数字，并求和为 vS[i]。）最后，为每个小于 V 的 v 计算 num[v][L][|S|] ;这就是你的答案。

此外，如果你仔细操作，你可以省略第三个下标（为每个 i 向下运行循环，等等）；我只是为了清楚起见才包括它。

【讨论】：

【参考方案2】：

我不准备提供证明，但这听起来可能适合动态编程方案：将大小为 2 的子集列表制成表格，将它们用于计算机大小为 3 的子集等，这样你只需要检查一小部分潜在客户。

【讨论】：

【参考方案3】：

想到的一个优化是：订购您的序列（如果不是这样的话）。从它的开头选择前 L-1 个项目，然后选择最后一个项目，使其成为可能的最大值（序列中的下一个最大值会给出一个太大的总和）。丢弃序列的其余部分，因为这些项目无论如何都不能成为有效子集的一部分。

在那之后我猜又是全搜索了。但话又说回来，也可能有其他优化。

【讨论】：

【参考方案4】：

子集和问题的动态规划解决方案会生成一个包含该答案的表（即 V 乘 N 的布尔表，其中 V 是最大元素数，N 是集合中可以包含的最大项目数满足约束；如果

【讨论】：