是否有一个简单的算法可以确定 X 是否为素数？
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【中文标题】是否有一个简单的算法可以确定 X 是否为素数？【英文标题】：Is there a simple algorithm that can determine if X is prime? 【发布时间】：2010-09-16 08:22:55 【问题描述】：我一直在尝试通过 Project Euler 进行工作，并注意到一些问题要求您确定素数作为其中的一部分。
我知道我可以将 x 除以 2, 3, 4, 5, ..., X 的平方根，如果我得到平方根，我可以（安全地）假设这个数字是素数.不幸的是，这个解决方案似乎很笨拙。
我研究了更好的算法来判断一个数是否为素数，但很快就会混淆。
是否有一种简单的算法可以确定 X 是否为素数，并且不会让普通程序员感到困惑？
非常感谢！
【问题讨论】：
Project Euler 的目的是让您锻炼您的数学和编程能力，并继续研究和改进这两者。 “死亡”不是借口 - 欧拉计划旨在帮助您克服这一限制！ 见鬼，我什至知道一些神仙对其中一些问题感到震惊。现在是砍掉他们的头，吃掉他们的灵魂的最佳时机。 【参考方案1】：也许这个 Java 实现会有所帮助：
public class SieveOfEratosthenes
/**
* Calling this method with argument 7 will return: true true false false true false true false
* which must be interpreted as : 0 is NOT prime, 1 is NOT prime, 2 IS prime, 3 IS prime, 4 is NOT prime
* 5 is prime, 6 is NOT prime, 7 is prime.
* Caller may either revert the array for easier reading, count the number of primes or extract the prime values
* by looping.
* @param upTo Find prime numbers up to this value. Must be a positive integer.
* @return a boolean array where index represents the integer value and value at index returns
* if the number is NOT prime or not.
*/
public static boolean[] isIndexNotPrime(int upTo)
if (upTo < 2)
return new boolean[0];
// 0-index array, upper limit must be upTo + 1
final boolean[] isIndexNotPrime = new boolean[upTo + 1];
isIndexNotPrime[0] = true; // 0 is not a prime number.
isIndexNotPrime[1] = true; // 1 is not a prime number.
// Find all non primes starting from 2 by finding 2 * 2, 2 * 3, 2 * 4 until 2 * multiplier > isIndexNotPrime.len
// Find next by 3 * 3 (since 2 * 3 was found before), 3 * 4, 3 * 5 until 3 * multiplier > isIndexNotPrime.len
// Move to 4, since isIndexNotPrime[4] is already True (not prime) no need to loop..
// Move to 5, 5 * 5, (2 * 5 and 3 * 5 was already set to True..) until 5 * multiplier > isIndexNotPrime.len
// Repeat process until i * i > isIndexNotPrime.len.
// Assume we are looking up to 100. Break once you reach 11 since 11 * 11 == 121 and we are not interested in
// primes above 121..
for (int i = 2; i < isIndexNotPrime.length; i++)
if (i * i >= isIndexNotPrime.length)
break;
if (isIndexNotPrime[i])
continue;
int multiplier = i;
while (i * multiplier < isIndexNotPrime.length)
isIndexNotPrime[i * multiplier] = true;
multiplier++;
return isIndexNotPrime;
public static void main(String[] args)
final boolean[] indexNotPrime = SieveOfEratosthenes.isIndexNotPrime(7);
assert !indexNotPrime[2]; // Not (not prime)
assert !indexNotPrime[3]; // Not (not prime)
assert indexNotPrime[4]; // (not prime)
assert !indexNotPrime[5]; // Not (not prime)
assert indexNotPrime[6]; // (not prime)
assert !indexNotPrime[7]; // Not (not prime)
【讨论】：
【参考方案2】：没有优化，但它是一个非常简单的功能。
function isprime(number)
if (number == 1)
return false;
var times = 0;
for (var i = 1; i <= number; i++)
if(number % i == 0)
times ++;
if (times > 2)
return false;
return true;
【讨论】：
【参考方案3】：python中的另一种方式是：
import math
def main():
count = 1
while True:
isprime = True
for x in range(2, int(math.sqrt(count) + 1)):
if count % x == 0:
isprime = False
break
if isprime:
print count
count += 2
if __name__ == '__main__':
main()
【讨论】：
【参考方案4】：生成小于限制Sieve of Eratosthenes 的所有素数（该页面包含 20 种编程语言的变体）是最古老和最简单的解决方案。
在 Python 中：
def iprimes_upto(limit):
is_prime = [True] * limit
for n in range(2, limit):
if is_prime[n]:
yield n
for i in range(n*n, limit, n): # start at ``n`` squared
is_prime[i] = False
例子：
>>> list(iprimes_upto(15))
[2, 3, 5, 7, 11, 13]
【讨论】：
OP 说not confuse a mere mortal programmer?。这个***.com/questions/231767/… 让我觉得yield 令人困惑..【参考方案5】：
我喜欢这个 python 代码。
def primes(limit) :
limit += 1
x = range(limit)
for i in xrange(2,limit) :
if x[i] == i:
x[i] = 1
for j in xrange(i*i, limit, i) :
x[j] = i
return [j for j in xrange(2, limit) if x[j] == 1]
它的一个变体可以用来生成一个数的因数。
def factors(limit) :
limit += 1
x = range(limit)
for i in xrange(2,limit) :
if x[i] == i:
x[i] = 1
for j in xrange(i*i, limit, i) :
x[j] = i
result = []
y = limit-1
while x[y] != 1 :
divisor = x[y]
result.append(divisor)
y /= divisor
result.append(y)
return result
当然，如果我要分解一批数字，我不会重新计算缓存；我会做一次并在其中进行查找。
【讨论】：
【参考方案6】：第一个算法非常好，在 Project Euler 中使用了很多。如果你知道你想要的最大数量，你也可以研究埃拉托色尼的筛子。
如果您维护素数列表，您还可以改进第一个算法，使其仅与素数相除，直到数字的平方根。
通过这两种算法（除法和筛子），您应该能够解决问题。
编辑：在 cmets 中注明的固定名称
【讨论】：
你的回答有误，他的名字通常写成：“Eratosthenes”【参考方案7】：记住以下事实（来自MathsChallenge.net）：
除 2 之外的所有素数都是奇数。 所有大于 3 的素数都可以写成 6k - 1 或 6k + 1 的形式。 您无需检查 n 的平方根这是我用于相对较小的 n 的 C++ 函数：
bool isPrime(unsigned long n)
if (n == 1) return false; // 1 is not prime
if (n < 4) return true; // 2 and 3 are both prime
if ((n % 2) == 0) return false; // exclude even numbers
if (n < 9) return true; //we have already excluded 4, 6, and 8.
if ((n % 3) == 0) return false; // exclude remaining multiples of 3
unsigned long r = floor( sqrt(n) );
unsigned long f = 5;
while (f <= r)
if ((n % f) == 0) return false;
if ((n % (f + 2)) == 0) return false;
f = f + 6;
return true; // (in all other cases)
您可能会想出更多自己的优化。
【讨论】：
【参考方案8】：我也在解决 Project Euler 问题，实际上刚刚完成了#3（按 id），这是对合数的最高质因数的搜索（? 中的数字是 600851475143）。
我查看了关于素数（这里已经提到的筛技术）和 wikipedia 上的整数因式分解的所有信息，并提出了我决定采用的蛮力试验除法算法。
所以当我在做欧拉问题来学习 ruby 时，我正在研究我的算法并偶然发现了 mathn 库，它有一个 Prime class 和一个 Integer class with a prime_division 方法。多么酷啊。我能够得到这个 ruby sn-p 问题的正确答案：
require "mathn.rb"
puts 600851475143.prime_division.last.first
这个 sn-p 将正确答案输出到控制台。当然，在我偶然发现这个小美女之前，我最终做了很多阅读和学习，我只是想我会与大家分享......
【讨论】：
【参考方案9】：对于相当小的数字，最多为 sqrt(x) 的 x%n 非常快速且易于编码。
简单改进：
仅测试 2 和奇数。
测试 2、3 和 6 + 或 - 1 的倍数（除 2 或 3 之外的所有素数都是 6 +/- 1 的倍数，因此您实际上只是跳过了所有偶数和所有 3 的倍数
只测试素数（需要计算或存储直到 sqrt(x) 的所有素数）
您可以使用 sieve 方法快速生成一个包含任意限制的所有素数的列表，但它往往会占用大量内存。您可以使用 6 的倍数技巧将内存使用量减少到每个数字的 1/3 位。
我编写了一个简单的素数类 (C#)，它使用两个位域来表示 6+1 的倍数和 6-1 的倍数，然后进行简单的查找...如果我正在测试的数字超出了筛子，然后它依靠 2、3 和 6 +/- 1 的倍数进行测试。我发现对于我已经解决的大多数欧拉问题，生成一个大筛子实际上比动态计算素数需要更多时间迄今为止。 KISS 原则又来了！
我编写了一个素数类，它使用筛子预先计算较小的素数，然后依靠 2、3 和 6 的倍数 +/- 1 来测试筛子范围之外的素数。
【讨论】：
【参考方案10】：这是一个简单的 D（数字火星）素数测试：
/**
* to compile:
* $ dmd -run prime_trial.d
* to optimize:
* $ dmd -O -inline -release prime_trial.d
*/
module prime_trial;
import std.conv : to;
import std.stdio : w = writeln;
/// Adapted from: http://www.devx.com/vb2themax/Tip/19051
bool
isprime(Integer)(in Integer number)
/* manually test 1, 2, 3 and multiples of 2 and 3 */
if (number == 2 || number == 3)
return true;
else if (number < 2 || number % 2 == 0 || number % 3 == 0)
return false;
/* we can now avoid to consider multiples
* of 2 and 3. This can be done really simply
* by starting at 5 and incrementing by 2 and 4
* alternatively, that is:
* 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, ...
* we don't need to go higher than the square root of the number */
for (Integer divisor = 5, increment = 2; divisor*divisor <= number;
divisor += increment, increment = 6 - increment)
if (number % divisor == 0)
return false;
return true; // if we get here, the number is prime
/// print all prime numbers less then a given limit
void main(char[][] args)
const limit = (args.length == 2) ? to!(uint)(args[1]) : 100;
for (uint i = 0; i < limit; ++i)
if (isprime(i))
w(i);
【讨论】：
【参考方案11】：AKS 主要测试算法：
Input: Integer n > 1
if (n is has the form ab with b > 1) then output COMPOSITE
r := 2
while (r < n)
if (gcd(n,r) is not 1) then output COMPOSITE
if (r is prime greater than 2) then
let q be the largest factor of r-1
if (q > 4sqrt(r)log n) and (n(r-1)/q is not 1 (mod r)) then break
r := r+1
for a = 1 to 2sqrt(r)log n
if ( (x-a)n is not (xn-a) (mod xr-1,n) ) then output COMPOSITE
output PRIME;
【讨论】：
【参考方案12】：你的权利是最慢的。您可以对其进行一些优化。
考虑使用模数而不是平方根。 跟踪你的素数。您只需要将 7 除以 2、3 和 5，因为 6 是 2 和 3 的倍数，而 4 是 2 的倍数。
Rslite 提到了eranthenos sieve。这是相当直截了当的。我有它家的几种语言。如果您希望我稍后发布该代码，请添加评论。
这是我的 C++ 版本。它有很大的改进空间，但与动态语言版本相比，它的速度更快。
// Author: James J. Carman
// Project: Sieve of Eratosthenes
// Description: I take an array of 2 ... max values. Instead of removeing the non prime numbers,
// I mark them as 0, and ignoring them.
// More info: http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes
#include <iostream>
int main(void)
// using unsigned short.
// maximum value is around 65000
const unsigned short max = 50000;
unsigned short x[max];
for(unsigned short i = 0; i < max; i++)
x[i] = i + 2;
for(unsigned short outer = 0; outer < max; outer++)
if( x[outer] == 0)
continue;
unsigned short item = x[outer];
for(unsigned short multiplier = 2; (multiplier * item) < x[max - 1]; multiplier++)
unsigned int searchvalue = item * multiplier;
unsigned int maxValue = max + 1;
for( unsigned short maxIndex = max - 1; maxIndex > 0; maxIndex--)
if(x[maxIndex] != 0)
maxValue = x[maxIndex];
break;
for(unsigned short searchindex = multiplier; searchindex < max; searchindex++)
if( searchvalue > maxValue )
break;
if( x[searchindex] == searchvalue )
x[searchindex] = 0;
break;
for(unsigned short printindex = 0; printindex < max; printindex++)
if(x[printindex] != 0)
std::cout << x[printindex] << "\t";
return 0;
我会在找到 Perl 和 python 代码后立即扔掉它。它们风格相似，只是线条更少。
【讨论】：
是的，***：citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.835 我已经发布了一个更简洁的 Python 版本。看我的回答。 ***.com/questions/188425/project-euler-problem#193605【参考方案13】：我看到已经提出了 Fermat 的素性检验，但我一直在研究 Structure and Interpretation of Computer Programs，他们还给出了 Miller-Rabin test（参见第 1.2.6 节，问题 1.28）作为另一种选择。我一直在成功地使用它来解决欧拉问题。
【讨论】：
我也使用 Miller-Rabin 解决一些问题 +1 但我怀疑它是否比问题中建议的算法更快？你用的是随机版本吗？ 费马的检验与卡迈克尔数有问题。【参考方案14】：这是您的方法的简单优化，它不是埃拉托色尼筛法，但很容易实现：首先尝试将 X 除以 2 和 3，然后循环 j=1..sqrt(X)/6，试图除以 6*j-1 和 6*j+1。这会自动跳过所有可被 2 或 3 整除的数字，从而获得相当不错的常数因子加速。
【讨论】：
还有一个更简单的选择：从5开始，递增2和4。效果是一样的，即——基于(2,3)的车轮优化。见***.com/questions/188425/project-euler-problem#193589【参考方案15】：我推荐Fermat's primality test。这是一个概率测试，但它经常是正确的。与筛子相比，它的速度非常快。
【讨论】：
几乎是+1。问题是费马的卡迈克尔数检验失败。 Miller-Rabin 测试只是稍微困难一点，在 Wikipedia 上，您可以找到非常快速的变体，它们对所有 32 位数字或 n @gnasher729 我知道这已经晚了大约 4 年，但 Miller-Rabin 不是概率论吗？或者你的意思是在相对较小的 32 位整数样本空间中，它失败的可能性非常低？我数学不太好哈哈【参考方案16】：对于 Project Euler，拥有素数列表非常重要。我建议您为每个问题保留一个列表。
我认为您正在寻找的是Sieve of Eratosthenes。
【讨论】：
以上是关于是否有一个简单的算法可以确定 X 是否为素数？的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章