在二维数组的矩形区域内找到最大值的快速方法

Posted 2023-02-22

【中文标题】在二维数组的矩形区域内找到最大值的快速方法

【英文标题】：Fast way to find the maximum value within a rectangle region of a 2d array

【发布时间】：2016-08-04 05:23:55

【问题描述】：

我有一个二维深度值数组，需要一种快速方法来找到给定矩形区域内的最大值。许多矩形将针对给定的深度缓冲区进行测试，因此可以接受合理的预处理步骤。

简单的方法是扫描矩形中的每个像素，跟踪最大值，需要宽度 * 高度迭代。

通过首先创建深度缓冲区的四叉树，其中每个父节点包含其子节点的最大值，可以将复杂性降低到大约宽度 + 高度迭代。这种方法很好，但我想知道它是否可以做得更快。

我已经给出了一个通过使用线性时间预处理here来查找平均值而不是恒定时间内的最大值的方法示例。

有人知道找到最大值的类似技术吗？

【问题讨论】：

矩形的大小是可变的吗？

最大操作和加法有一个主要区别：最大是不可逆的。取 max(a, b) 后，两个数中的一个将永远丢失。这与 a+b 形成对比，因此您可以在知道 a 的情况下检索 b。因此，不能使用“整体图像”技巧。

可能"Two-Dimensional Range Minimum Queries" 就是你要找的。​​span>

【参考方案1】：

是的，您可以概括平均的技巧，但仅限于较小的颜色深度，例如 8 位深度 (0-255)。假设您有 k 种颜色（或不同的深度值）。

供您参考，这里有一个很好的解释，通过积分图像Viola/Jones CVPR 2001计算矩形的均值，请参阅第 2.1 节。

我的通用算法是预先计算维度为 k 的向量的积分，颜色/深度值多久出现一次。从此向量中，您可以采用与技巧相同的差异来计算平均值。这不仅为您提供了矩形区域内的最大值，而且还为您提供了在恒定时间内该矩形内的直方图的向量。当然，直方图允许您提取最大值（或最小值，或其他分位数）。

时间和内存需求当然随着颜色的数量而增长，我认为复杂度等级是 O(k) 用于查找和 O(k * width * height) 用于预计算。

（如果我的想法以前被使用过，我会很感兴趣。）

【讨论】：

我喜欢这个主意。如果 OP 将简单地使用最终结果进行 < 或 > 比较，那么您可以通过将向量的第 i 个元素设置为深度等于 的元素数来获得 O(1) 查找时间或小于 i；这也不应该改变预处理时间。

其实应该是“深度等于或大于 i”。

@j_random_hacker 如何从预先计算的向量中获得矩形内的最大值？

实际上，我现在意识到我的直方图向量变体将允许通过二分搜索在 O(log k) 时间内找到最大值，因为 v 中的值不会增加！ :) 首先设置 L = 0 和 U = 255。现在设置 i = (L+U)/2，并使用积分图像技巧在 O(1) 时间内为查询矩形计算 v[i]：如果 v[ i] > 0，i太低，设L = i，重复；否则，如果 v[i] = 0，则 i （或可能）太高，因此设置 U = i 并重复。当 U-L = 这个深度，所以返回 i-1。

[修复了较早的评论] 确定最大值仍需要 O(k) 时间：您首先在 O(k) 时间内计算查询的直方图向量 v[0 .. 255]矩形，然后寻找最小的 i 使得 v[i+1] = 0。更快的是如果我们已经有一个测试深度 x，我们想知道查询矩形中是否有任何深度 > x：在这种情况下，我们只需要计算直方图向量的第 x 个元素（即 v[x]）并测试它是否 > 0。

【参考方案2】：

通过添加零将数组填充到 2 的平方幂。然后将其金字塔化成一个堆栈，每次在每个维度上缩小 2 倍。在每个级别，每个元素的值等于金字塔中下一个最大数组中 4 个对应元素的最大值。这将在填充的数组大小之上额外占用 1/3 的存储空间，就像 mip-maps 一样。

编写一个递归函数，它接受给定数组级别的单个元素，并检查查询区域是否覆盖了它所覆盖的边界。如果不是，则检查与查询区域重叠的下一个最大数组中的每个区域，返回每个区域的递归计算最大值。

伪代码：

 int getMax(Rect query_rect, int level, int level_x, int level_y)
 
      int level_factor = 1 << level;
      // compute the area covered by this array element:
      Rect level_rect(level_x * level_factor, level_y * level_factor,
          (level_x + 1) * level_factor, (level_y + 1) * level_factor);

      // if the regions don't overlap then ignore:
      if(!query_rect.intersects(level_rect))
          return -1;

      // query rect entirely contains this region, return precomputed max:
      if(query_rect.contains(level_rect))
          return pyramid[level][level_x][level_y];

      if(level == 0)
          return -1;  // ran out of levels

      int max = getMax(query_rect, level - 1, level_x * 2, level_y * 2);
      max = maxValue(max, getMax(query_rect, level - 1, (level_x * 2) + 1, level_y * 2);
      max = maxValue(max, getMax(query_rect, level - 1, level_x * 2, (level_y * 2) + 1);
      max = maxValue(max, getMax(query_rect, level - 1, (level_x * 2) + 1, (level_y * 2) + 1);

      return max;
 

最初在顶层（金字塔中的顶点 1x1 数组）调用它：

 int max = getMax(query_rect, 10, 0, 0);

查询矩形会有一个最小尺寸，低于这个尺寸，仅遍历所有元素会更便宜。您可以调整它以使用非方形数组，它只需要在递归时对每个级别的数组大小进行一些额外的测试。