使用 k-means 聚类时如何确定 k？

Posted 2023-03-12

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【中文标题】使用 k-means 聚类时如何确定 k？【英文标题】：How do I determine k when using k-means clustering? 【发布时间】：2010-12-20 02:17:01 【问题描述】：

我一直在研究k-means clustering，不清楚的一件事是你如何选择k的值。这只是一个反复试验的问题，还是有更多的问题？

【问题讨论】：

啊啊...这真的是 the 问题（关于 k-mean）。你能分享函数 L（对数似然）的代码吗？给定 X,Y 的中心和 (x(i=1,2,3,4,...,n),y(i=1,2,3,4,..,n)) 的点，如何我会得到 L 吗？关于该主题的***文章链接：en.wikipedia.org/wiki/… 我在这里用六种方法（使用R）回答了一个类似的问题：***.com/a/15376462/1036500 【参考方案1】：

在这里留下一个来自 Codecademy 课程的非常酷的 gif：

K-Means 算法：

为初始集群放置 k 个随机质心。将数据样本分配到最近的质心。根据上述分配的数据样本更新质心。

顺便说一句，它不是对完整算法的解释，它只是有用的可视化

【讨论】：

【参考方案2】：

我研究了一个 Python 包膝盖（Kneedle 算法）。它动态地找到簇数作为曲线开始变平的点。给定一组 x 和 y 值，kneed 将返回函数的拐点。膝关节是曲率最大的点。这是示例代码。

y = [7342.1301373073857, 6881.7109460930769, 6531.1657905495022,  
6356.2255554679778, 6209.8382535595829, 6094.9052166741121, 
5980.0191582610196, 5880.1869867848218, 5779.8957906367368, 
5691.1879324562778, 5617.5153566271356, 5532.2613232619951, 
5467.352265375117, 5395.4493783888756, 5345.3459908298091, 
5290.6769823693812, 5243.5271656371888, 5207.2501206569532, 
5164.9617535255456]

x = range(1, len(y)+1)

from kneed import KneeLocator
kn = KneeLocator(x, y, curve='convex', direction='decreasing')

print(kn.knee)

【讨论】：

请在您的答案中添加一些解释，以便其他人可以从中学习【参考方案3】：

您可以通过直观地检查数据点来选择集群的数量，但您很快就会意识到，除了最简单的数据集之外，此过程中存在很多歧义。这并不总是坏事，因为您正在进行无监督学习，并且在标记过程中存在一些固有的主观性。在这里，具有该特定问题或类似问题的先前经验将帮助您选择正确的值。

如果你想知道你应该使用的集群数量，你可以应用 Elbow 方法：

首先，计算某些 k 值（例如 2、4、6、8 等）的误差平方和 (SSE)。 SSE 被定义为集群的每个成员与其质心之间的平方距离之和。数学上：

SSE=∑Ki=1∑x∈cidist(x,ci)2

如果您针对 SSE 绘制 k，您会看到误差随着 k 变大而减小；这是因为当簇的数量增加时，它们应该更小，所以失真也更小。肘部法的思想是选择 SSE 突然下降的 k。这会在图中产生“肘部效应”，如下图所示：

在这种情况下，k=6 是 Elbow 方法选择的值。考虑到 Elbow 方法是一种启发式方法，因此，它在您的特定情况下可能会或可能不会很好地工作。有时，有不止一个肘部，或者根本没有肘部。在这些情况下，您通常最终通过评估 k-means 在您尝试解决的特定聚类问题的上下文中的执行情况来计算最佳 k。

【讨论】：

【参考方案4】：

有一种叫做经验法则的东西。它说簇的数量可以通过

k = (n/2)^0.5

其中 n 是样本中元素的总数。您可以在以下论文中检查此信息的真实性：

http://www.ijarcsms.com/docs/paper/volume1/issue6/V1I6-0015.pdf

还有另一种称为 G 均值的方法，您的分布遵循高斯分布或正态分布。它包括增加 k 直到所有 k 组都遵循高斯分布。它需要大量统计数据，但可以完成。以下是出处：

http://papers.nips.cc/paper/2526-learning-the-k-in-k-means.pdf

我希望这会有所帮助！

【讨论】：

【参考方案5】：

您好，我会简单明了地解释一下，我喜欢使用“NbClust”库来确定集群。

现在，如何使用“NbClust”函数来确定正确的集群数量：您可以使用实际数据和集群检查 Github 中的实际项目 - 对这个“kmeans”算法的扩展也使用正确数量的“中心”。

Github 项目链接：https://github.com/RutvijBhutaiya/Thailand-Customer-Engagement-Facebook

【讨论】：

除了添加 github 链接，您能否添加几行关键代码，即使您的代码无法访问也可以帮助其他人？【参考方案6】：

如果您不知道作为参数提供给 k-means 的聚类 k 的数量，那么有四种方法可以自动找到它：

G-means 算法：它使用统计测试自动发现集群的数量，以决定是否将 k-means 中心一分为二。该算法采用分层方法来检测集群的数量，基于对数据子集遵循高斯分布（近似于事件的精确二项式分布的连续函数）的假设的统计检验，如果不是，则拆分集群.它从少量中心开始，比如只有一个集群 (k=1)，然后算法将其拆分为两个中心 (k=2) 并再次拆分这两个中心中的每一个 (k=4)，其中有四个中心全部的。如果 G-means 不接受这四个中心，那么答案是上一步：在这种情况下是两个中心 (k=2)。这是您的数据集将分成的集群数量。当您无法估计分组实例后将获得的集群数量时，G-means 非常有用。请注意，“k”参数的不方便选择可能会给您错误的结果。 g-means 的并行版本称为p-means。 G-均值来源： source 1 source 2 source 3

x-means：一种新算法，可有效搜索集群位置空间和集群数量，以优化贝叶斯信息准则 (BIC) 或 Akaike 信息准则 (AIC) 度量。这个版本的 k-means 找到数字 k 并且还加速了 k-means。

在线 k-means 或 Streaming k-means：它允许通过扫描整个数据一次来执行 k-means，并自动找到最佳 k 数。 Spark 实现了它。

MeanShift algorithm：它是一种非参数聚类技术，不需要事先知道聚类的数量，也不限制聚类的形状。均值漂移聚类旨在发现平滑密度样本中的“斑点”。它是一种基于质心的算法，它通过将候选质心更新为给定区域内点的平均值来工作。然后在后处理阶段对这些候选对象进行过滤，以消除近似重复以形成最终的质心集。来源：source1、source2、source3

【讨论】：

【参考方案7】：

另一种方法是使用自组织图 (SOP) 来查找最佳集群数量。 SOM（自组织图）是一种无监督的神经网络网络方法，它只需要输入用于聚类解决问题。这种方法在一篇关于客户细分的论文中使用。

论文的参考文献是

Abdellah Amine 等人，电子商务中的客户细分模型聚类技术和 LRFM 模型：案例摩洛哥在线商店，世界科学、工程和技术学院国际计算机与信息工程杂志 Vol:9, No:8, 2015, 1999 - 2010

【讨论】：

【参考方案8】：

我使用了我在这里找到的解决方案：http://efavdb.com/mean-shift/，它对我来说效果很好：

import numpy as np
from sklearn.cluster import MeanShift, estimate_bandwidth
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
import matplotlib.pyplot as plt
from itertools import cycle
from PIL import Image

#%% Generate sample data
centers = [[1, 1], [-.75, -1], [1, -1], [-3, 2]]
X, _ = make_blobs(n_samples=10000, centers=centers, cluster_std=0.6)

#%% Compute clustering with MeanShift

# The bandwidth can be automatically estimated
bandwidth = estimate_bandwidth(X, quantile=.1,
                               n_samples=500)
ms = MeanShift(bandwidth=bandwidth, bin_seeding=True)
ms.fit(X)
labels = ms.labels_
cluster_centers = ms.cluster_centers_

n_clusters_ = labels.max()+1

#%% Plot result
plt.figure(1)
plt.clf()

colors = cycle('bgrcmykbgrcmykbgrcmykbgrcmyk')
for k, col in zip(range(n_clusters_), colors):
    my_members = labels == k
    cluster_center = cluster_centers[k]
    plt.plot(X[my_members, 0], X[my_members, 1], col + '.')
    plt.plot(cluster_center[0], cluster_center[1],
             'o', markerfacecolor=col,
             markeredgecolor='k', markersize=14)
plt.title('Estimated number of clusters: %d' % n_clusters_)
plt.show()

【讨论】：

【参考方案9】：

可能是像我这样寻找代码示例的初学者。 silhouette_score 的信息可用here.

from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.metrics import silhouette_score

range_n_clusters = [2, 3, 4]            # clusters range you want to select
dataToFit = [[12,23],[112,46],[45,23]]  # sample data
best_clusters = 0                       # best cluster number which you will get
previous_silh_avg = 0.0

for n_clusters in range_n_clusters:
    clusterer = KMeans(n_clusters=n_clusters)
    cluster_labels = clusterer.fit_predict(dataToFit)
    silhouette_avg = silhouette_score(dataToFit, cluster_labels)
    if silhouette_avg > previous_silh_avg:
        previous_silh_avg = silhouette_avg
        best_clusters = n_clusters

# Final Kmeans for best_clusters
kmeans = KMeans(n_clusters=best_clusters, random_state=0).fit(dataToFit)

【讨论】：

示例不适用于 scikit-learn 版本：0.24.2。 Silhouette_score（dataToFit、cluster_labels）上的错误。 “发生异常：ValueError 标签数为 3。有效值为 2 到 n_samples - 1（含）” 你应该看看这个：***.com/questions/51382250/…【参考方案10】：

km=[]
for i in range(num_data.shape[1]):
    kmeans = KMeans(n_clusters=ncluster[i])#we take number of cluster bandwidth theory
    ndata=num_data[[i]].dropna()
    ndata['labels']=kmeans.fit_predict(ndata.values)
    cluster=ndata
    co=cluster.groupby(['labels'])[cluster.columns[0]].count()#count for frequency
    me=cluster.groupby(['labels'])[cluster.columns[0]].median()#median
    ma=cluster.groupby(['labels'])[cluster.columns[0]].max()#Maximum
    mi=cluster.groupby(['labels'])[cluster.columns[0]].min()#Minimum
    stat=pd.concat([mi,ma,me,co],axis=1)#Add all column
    stat['variable']=stat.columns[1]#Column name change
    stat.columns=['Minimum','Maximum','Median','count','variable']
    l=[]
    for j in range(ncluster[i]):
        n=[mi.loc[j],ma.loc[j]] 
        l.append(n)

    stat['Class']=l
    stat=stat.sort(['Minimum'])
    stat=stat[['variable','Class','Minimum','Maximum','Median','count']]
    if missing_num.iloc[i]>0:
        stat.loc[ncluster[i]]=0
        if stat.iloc[ncluster[i],5]==0:
            stat.iloc[ncluster[i],5]=missing_num.iloc[i]
            stat.iloc[ncluster[i],0]=stat.iloc[0,0]
    stat['Percentage']=(stat[[5]])*100/count_row#Freq PERCENTAGE
    stat['Cumulative Percentage']=stat['Percentage'].cumsum()
    km.append(stat)
cluster=pd.concat(km,axis=0)## see documentation for more info
cluster=cluster.round('Minimum': 2, 'Maximum': 2,'Median':2,'Percentage':2,'Cumulative Percentage':2)

【讨论】：

您选择数据和库添加，然后将 km=[] 复制到 Percentage':2) 最后并运行您的 python 并查看欢迎来到 Stack Overflow！尽管此代码可能有助于解决问题，但它并没有解释 为什么 和/或如何回答问题。提供这种额外的背景将显着提高其长期教育价值。请edit您的答案添加解释，包括适用的限制和假设。【参考方案11】：

一个可能的答案是使用像遗传算法这样的元启发式算法来找到 k。这很简单。您可以使用随机 K（在某个范围内）并使用诸如剪影之类的测量来评估遗传算法的拟合函数并根据拟合函数找到最佳 K。

https://en.wikipedia.org/wiki/Silhouette_(clustering)

【讨论】：

【参考方案12】：

查看 this 论文，“Learning the k in k-means”，作者是 Greg Hamerly，Charles Elkan。它使用高斯检验来确定正确的集群数量。此外，作者声称此方法优于已接受答案中提到的 BIC。

【讨论】：

【参考方案13】：

如果您使用 MATLAB，即自 2013b 以来的任何版本，您可以使用函数 evalclusters 来找出给定数据集的最佳 k 应该是什么。

此功能可让您从 3 种聚类算法中进行选择 - kmeans、linkage 和 gmdistribution。

它还允许您从 4 个聚类评估标准中进行选择 - CalinskiHarabasz、DaviesBouldin、gap 和 silhouette。

【讨论】：

【参考方案14】：

我很惊讶没有人提到这篇优秀的文章： http://www.ee.columbia.edu/~dpwe/papers/PhamDN05-kmeans.pdf

在遵循了其他几个建议后，我在阅读此博客时终于看到了这篇文章： https://datasciencelab.wordpress.com/2014/01/21/selection-of-k-in-k-means-clustering-reloaded/

之后我在 Scala 中实现了它，这种实现对于我的用例来说提供了非常好的结果。代码如下：

import breeze.linalg.DenseVector
import Kmeans.Features, _
import nak.cluster.Kmeans => NakKmeans

import scala.collection.immutable.IndexedSeq
import scala.collection.mutable.ListBuffer

/*
https://datasciencelab.wordpress.com/2014/01/21/selection-of-k-in-k-means-clustering-reloaded/
 */
class Kmeans(features: Features) 
  def fkAlphaDispersionCentroids(k: Int, dispersionOfKMinus1: Double = 0d, alphaOfKMinus1: Double = 1d): (Double, Double, Double, Features) = 
    if (1 == k || 0d == dispersionOfKMinus1) (1d, 1d, 1d, Vector.empty)
    else 
      val featureDimensions = features.headOption.map(_.size).getOrElse(1)
      val (dispersion, centroids: Features) = new NakKmeans[DenseVector[Double]](features).run(k)
      val alpha =
        if (2 == k) 1d - 3d / (4d * featureDimensions)
        else alphaOfKMinus1 + (1d - alphaOfKMinus1) / 6d
      val fk = dispersion / (alpha * dispersionOfKMinus1)
      (fk, alpha, dispersion, centroids)
    
  

  def fks(maxK: Int = maxK): List[(Double, Double, Double, Features)] = 
    val fadcs = ListBuffer[(Double, Double, Double, Features)](fkAlphaDispersionCentroids(1))
    var k = 2
    while (k <= maxK) 
      val (fk, alpha, dispersion, features) = fadcs(k - 2)
      fadcs += fkAlphaDispersionCentroids(k, dispersion, alpha)
      k += 1
    
    fadcs.toList
  

  def detK: (Double, Features) = 
    val vals = fks().minBy(_._1)
    (vals._3, vals._4)
  


object Kmeans 
  val maxK = 10
  type Features = IndexedSeq[DenseVector[Double]]

【讨论】：

在 scala 2.11.7 中实现，微风 0.12 和 nak 1.3 嗨@eirirlar 我正在尝试用 Python 实现相同的代码 - 但我无法遵循网站中的代码。见我的帖子：***.com/questions/36729826/python-k-means-clustering @ImranRashid 抱歉，我只测试了二维，我不是 Python 专家。【参考方案15】：

假设您有一个名为 DATA 的数据矩阵，您可以通过估计聚类数量（通过轮廓分析）围绕中心点执行分区，如下所示：

library(fpc)
maxk <- 20  # arbitrary here, you can set this to whatever you like
estimatedK <- pamk(dist(DATA), krange=1:maxk)$nc

【讨论】：

【参考方案16】：

您可以最大化贝叶斯信息准则 (BIC)：

BIC(C | X) = L(X | C) - (p / 2) * log n

其中L(X | C) 是数据集X 根据模型C 的对数似然，p 是模型C 中的参数数量，n 是模型中的点数数据集。请参阅 ICML 2000 中 Dan Pelleg 和 Andrew Moore 的 "X-means: extending K-means with efficient estimation of the number of clusters"。

另一种方法是从k 的较大值开始，并继续删除质心（减少 k），直到不再减少描述长度。请参阅 Horst Bischof、Ales Leonardis 和 Alexander Selb 在模式分析和应用卷中的"MDL principle for robust vector quantisation"。 2，第1999 年 59 至 72 日。

最后，您可以从一个集群开始，然后继续拆分集群，直到分配给每个集群的点具有高斯分布。在"Learning the k in k-means" (NIPS 2003) 中，Greg Hamerly 和 Charles Elkan 展示了一些证据，证明这比 BIC 更有效，并且 BIC 对模型复杂性的惩罚不够强烈。

【讨论】：

很好的答案！对于 X-Means，您是否知道整体 BIC 得分 n := k*2（k 个集群，每个集群由高斯建模，具有均值/方差参数）。此外，如果您确定“父”BIC >“2 个子”BIC，您是否会在下一次迭代中再次拆分该集群？ @Budric，这些应该是单独的问题，可能在 stats.stackexchange.com 上。【参考方案17】：

我的想法是使用Silhouette Coefficient 来找到最佳簇数（K）。详细解释是here。

【讨论】：

【参考方案18】：

是的，您可以使用 Elbow 方法找到最佳聚类数，但我发现使用脚本从肘形图中找到聚类值很麻烦。您可以观察肘部图并自己找到肘部点，但是从脚本中找到它需要做很多工作。

所以另一种选择是使用Silhouette Method 来查找它。 Silhouette 的结果完全符合 R 中 Elbow 方法的结果。

这就是我所做的。

#Dataset for Clustering
n = 150
g = 6 
set.seed(g)
d <- data.frame(x = unlist(lapply(1:g, function(i) rnorm(n/g, runif(1)*i^2))), 
                y = unlist(lapply(1:g, function(i) rnorm(n/g, runif(1)*i^2))))
mydata<-d
#Plot 3X2 plots
attach(mtcars)
par(mfrow=c(3,2))

#Plot the original dataset
plot(mydata$x,mydata$y,main="Original Dataset")

#Scree plot to deterine the number of clusters
wss <- (nrow(mydata)-1)*sum(apply(mydata,2,var))
  for (i in 2:15) 
    wss[i] <- sum(kmeans(mydata,centers=i)$withinss)
   
plot(1:15, wss, type="b", xlab="Number of Clusters",ylab="Within groups sum of squares")

# Ward Hierarchical Clustering
d <- dist(mydata, method = "euclidean") # distance matrix
fit <- hclust(d, method="ward") 
plot(fit) # display dendogram
groups <- cutree(fit, k=5) # cut tree into 5 clusters
# draw dendogram with red borders around the 5 clusters 
rect.hclust(fit, k=5, border="red")

#Silhouette analysis for determining the number of clusters
library(fpc)
asw <- numeric(20)
for (k in 2:20)
  asw[[k]] <- pam(mydata, k) $ silinfo $ avg.width
k.best <- which.max(asw)

cat("silhouette-optimal number of clusters:", k.best, "\n")
plot(pam(d, k.best))

# K-Means Cluster Analysis
fit <- kmeans(mydata,k.best)
mydata 
# get cluster means 
aggregate(mydata,by=list(fit$cluster),FUN=mean)
# append cluster assignment
mydata <- data.frame(mydata, clusterid=fit$cluster)
plot(mydata$x,mydata$y, col = fit$cluster, main="K-means Clustering results")

希望对你有帮助！

【讨论】：

只是为python用户添加了剪影分析教程的链接scikit-learn.org/stable/auto_examples/cluster/… 另外，绘图见黄砖scikit-yb.org/en/latest/api/cluster/silhouette.html他们也有肘法【参考方案19】：

首先为您的数据构建一个minimum spanning tree。移除 K-1 个最昂贵的边会将树分成 K 个簇，因此您可以构建一次 MST，查看各种 K 的簇间距/指标，并取曲线的膝盖。

这仅适用于Single-linkage_clustering，但为此它又快又容易。此外，MST 的视觉效果很好。例如，参见下面的 MST 图 stats.stackexchange visualization software for clustering.

【讨论】：

【参考方案20】：

基本上，您希望在两个变量之间找到平衡点：聚类数 (k) 和聚类的平均方差。你想最小化前者，同时也最小化后者。当然，随着聚类数量的增加，平均方差会减小（直到 k=n 和方差=0 的平凡情况。

与数据分析一样，没有一种方法在所有情况下都比其他方法效果更好。最后，您必须使用自己的最佳判断。为此，它有助于根据平均方差（假设您已经针对 k 的多个值运行算法）绘制聚类数。然后你可以使用曲线拐点处的簇数。