创建穿过所有给定点的非相交多边形
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【中文标题】创建穿过所有给定点的非相交多边形【英文标题】：Create non-intersecting polygon passing through all given points 【发布时间】：2012-12-25 03:45:56 【问题描述】：假设我有一个随机顺序的点数组，我需要找到一个多边形（通过对它们进行排序，使得每个相邻对代表一个边），它通过 所有 点，当然，它的边是不相交的。
我尝试通过选择一个点并将所有点添加到它下方的最终数组中，从左到右排序。然后，添加它上面的所有点，从右到左排序。
有人告诉我，我可以添加一个额外的点并自然地排序以避免自相交。但我无法弄清楚这一点。有什么简单的方法可以做到这一点？
【问题讨论】：
听起来像是“旅行推销员问题” @AxelKemper 除了 OP 似乎没有寻找最短路径，而是寻找任何非自相交的路径。我认为不需要优化。 我对我的答案进行了重大更改。如果你想要 Mathematica 代码，请给我发电子邮件。 @max 你解决了这个问题吗？ 这不是很好（而且有点违背 SO 的精神）......其他来到这个页面的人呢？为什么不在这里发布更改后的答案？ 【参考方案1】：测试两个线段是否相交既简单又快速。例如，请参阅that。
这样你就可以迭代地构建你的多边形：
来源点：S = S0, ... Si, Sj,...
最终多边形：A = A0, ... Ai, Aj,...
您从S 满和A 空开始。
取S 的前3 个点并将它们移动到A。这个三角形当然不是自相交的。
然后，直到S 为空，取其剩余的第一个点，我们将调用P，并在A 中寻找可以插入它的位置。
这个位置是i+1 用于第一个i 验证[Ai-P] 和[Ai+1-P] 都不与任何其他段[Ak-Ak+1] 相交。
因此，您的新多边形 A 是 A0, ... Ai, P, Ai+1, ...
【讨论】：
【参考方案2】：相信你可以使用Graham scan算法来解决你的问题。
编辑：一般来说，Convex hull algorithms 是值得一看的。
【讨论】：
凸包在这里做不到，多边形应该通过所有个点。 我认为修改后的 Graham 扫描正是 OP 所需要的。选择一个点，然后按顺时针（或逆时针）顺序对其余点进行排序。按排序顺序连接点。对 Graham 扫描的修改是您无需担心“左转”或“右转”，因为您不会从船体上移除任何点。 @mbeckish 我相信甚至不需要提及格雷厄姆扫描 - 只需选择凸包内的某个位置（例如所有点的平均值）并围绕所选位置按顺时针顺序连接所有点。 【参考方案3】：正如有人所说，最小长度解决方案正是旅行商问题。这是一种非最佳但可行的方法：
计算Delauney triangulation 的点数。连续删除边界线段，直到剩下的边界可以插值所有点或不能删除更多线段。如果使用该段的三角形的所有点都在边界上，则不要删除边界段。以此边界为路径。
我在 Mathematica 中使用 40 个随机点实现了这一点。这是一个典型的结果：
明显的反对意见是，您可能会遇到一个点，即并非所有点都是边界点，但是您不能在不使边界自相交的情况下删除边界段。这是一个有效的反对意见。我跑了几十次才看到发生这种情况的案例，但最终得到了这个案例：
您可能会看到一些使用本地拓扑解决此问题的明显方法，但我会将详细信息留给您！可能有帮助的一件事是“边缘翻转”，您取两个共享边的三角形，例如三角形 (p,q,r) 和 (q,p,s) 并将它们替换为 (r,p,s) 和 ( r,s,q)（围绕三角形逆时针方向的所有坐标）。只要此变换中生成的三角形也是逆时针排序的，就可以做到这一点。
为了减少修复的需要，您需要在每个步骤中对要删除的段做出正确的选择。我使用了边界线段的长度与候选三角形另一边的长度之和的比率（由可能进入的点与线段形成的三角形）。
【讨论】：
【参考方案4】：好吧，如果您实际上并不关心最小化或类似的事情，您可以将新点放在凸包内，然后按角度对其他点进行排序。你会得到一个不相交的多边形。
【讨论】：
【参考方案5】：您所寻求的在文献中被称为简单的多边形化。例如，请参阅有关该主题的 this web page。 正如 Miguel 所说，生成star-shaped 多边形很容易，但很难 例如，正如 Axel Kemper 所提到的，找到最小周长多边形化，即最小 TSP。对于给定的点集，通常存在指数级的不同多边形化。
对于星形多边形化，有一个问题需要注意：额外点x（在星的“内核”中）不能与现有点重合！ 这是一种保证x的算法。找到最近的一对点 (a,b)，让 x 为线段 ab 的中点。然后按照 Miguel 的帖子继续。
【讨论】：
【参考方案6】：我们的策略是制定一个计划，确保多边形 包括所有点，我们可以找到连接它们的顺序 没有一条线相交的地方。
算法：
找到最左边的点 p 找到最右边的点q 将点划分为 A（pq 下方的点集）和 B（pq 上方的点集）[您可以使用 (p,q,?) 上的左转测试来 确定一个点是否在线上方]。 按 x 坐标对 A 进行排序（递增） 按 x 坐标（递减）对 B 进行排序。 按顺序返回由p定义的多边形，A中的点，q，B中的点。
运行时：
步骤 1,2,3 需要 O(n) 时间。 步骤 4,5 需要 O(nlogn) 时间。 第 6 步需要 O(n) 时间。 总运行时间为 O(nlogn)。
正确性：
通过构造，除了 p,q 之外的所有点都在集合 A 或 设置 B. 我们从第 6 行输出的多边形因此输出一个多边形 所有的点。我们现在需要论证的是，在 我们的输出多边形彼此相交。
考虑 输出多边形。从 p 到 A 中第一个点的第一条边不能 与任何线段相交（因为还没有线段）。随着我们继续 以 x 坐标通过 A 中的点的顺序，从每个点， 下一段向右，所有前面的段都向右 左边。因此，当我们从 p 出发，经过 A 的所有点，到达点 q，我们将没有交叉点。
我们从 q 往后走也是如此 通过 B 的点。这些线段不能相互交叉 因为它们是从右到左的。这些段也不能 与 A 中的任何东西相交，因为 A 中的所有点都低于 pq 线，并且 B 中的所有点都在这条线之上。
因此，没有段相交 其他，我们有一个简单的多边形。
来源：Broken link
【讨论】：
我做了一个脚本来实现这个算法。代码有点乱，我把cmets放在了必要的地方。 gist.github.com/Azeirah/75d44a6803b88e37ea8703a040e89353 该算法的 Python 3.6 实现：***.com/questions/14263284/… 很遗憾，PDF 的链接已失效。 Wayback 机器也没有帮助。 “您可以使用 (p,q,?) 上的左转测试来确定一个点是否在线上” - 什么是“左转测试”？left turn test 是点线定位函数 - 从同一顶点开始的两条线的叉积 - 当一条线在另一条线的右侧时，它给出加号 (>0)，而对于相反，因此您可以使用它来确定点何时高于 pq-line 或低于 pq-line。【参考方案7】：
警告！ 有时多边形相交，我不知道为什么。这可能是我的实施问题。有关交集示例，请参见 cmets。
这是基于bdean20 的answer 的python 3.6 代码（需要的库：matplotlib、numpy）。
图片说明：
左上角 - 预定义多边形，其他多边形随机生成。 虚线 - 连接绿色（最左边）和红色（最右边）多边形的 分。 黑点位于虚线上。 橙色点位于虚线下方。 蓝点位于虚线上方。=========
import random
from operator import itemgetter
import numpy
import matplotlib
import matplotlib.pyplot
class Create_random_polygon:
def __init__(self, array, min_rand_coord = None, max_rand_coord = None, points_num = None):
self.array = array
self.min_rand_coord = min_rand_coord
self.max_rand_coord = max_rand_coord
self.points_num = points_num
def generate_random_points(self):
random_coords_list = []
for x in range(self.points_num):
coords_tuple = (random.randint(self.min_rand_coord, self.max_rand_coord),
random.randint(self.min_rand_coord, self.max_rand_coord))
random_coords_list.append(coords_tuple)
self.array = random_coords_list
return random_coords_list
def close_line_to_polygon(self):
a = self.array[0]
b = self.array[len(self.array)-1]
if a == b:
pass
else:
self.array.append(a)
def find_leftmost_point(self):
leftmost_point = None
leftmost_x = None
for point in self.array:
x = point[0]
if leftmost_x == None or x < leftmost_x:
leftmost_x = x
leftmost_point = point
return leftmost_point
def find_rightmost_point(self):
rightmost_point = None
rightmost_x = None
for point in self.array:
x = point[0]
if rightmost_x == None or x > rightmost_x:
rightmost_x = x
rightmost_point = point
return rightmost_point
def is_point_above_the_line(self, point, line_points):
"""return 1 if point is above the line
return -1 if point is below the line
return 0 if point is lays on the line"""
px, py = point
P1, P2 = line_points
P1x, P1y = P1[0], P1[1]
P2x, P2y = P2[0], P2[1]
array = numpy.array([
[P1x - px, P1y - py],
[P2x - px, P2y - py],
])
det = numpy.linalg.det(array)
sign = numpy.sign(det)
return sign
def sort_array_into_A_B_C(self, line_points):
[(x_lm, y_lm), (x_rm, y_rm)] = line_points
A_array, B_array, C_array = [], [], []
for point in self.array:
x, y = point
sing = self.is_point_above_the_line( (x, y), line_points)
if sing == 0:
C_array.append(point)
elif sing == -1:
A_array.append(point)
elif sing == 1:
B_array.append(point)
return A_array, B_array, C_array
def sort_and_merge_A_B_C_arrays(self, A_array, B_array, C_array):
A_C_array = [*A_array, *C_array]
A_C_array.sort(key=itemgetter(0))
B_array.sort(key=itemgetter(0), reverse=True)
merged_arrays = [*A_C_array, *B_array]
self.array = merged_arrays
def show_image(self, array, line_points, A_array, B_array, C_array):
[(x_lm, y_lm), (x_rm, y_rm)] = line_points
x = [x[0] for x in array]
y = [y[1] for y in array]
Ax = [x[0] for x in A_array]
Ay = [y[1] for y in A_array]
Bx = [x[0] for x in B_array]
By = [y[1] for y in B_array]
Cx = [x[0] for x in C_array]
Cy = [y[1] for y in C_array]
matplotlib.pyplot.plot(Ax, Ay, 'o', c='orange') # below the line
matplotlib.pyplot.plot(Bx, By, 'o', c='blue') # above the line
matplotlib.pyplot.plot(Cx, Cy, 'o', c='black') # on the line
matplotlib.pyplot.plot(x_lm, y_lm, 'o', c='green') # leftmost point
matplotlib.pyplot.plot(x_rm, y_rm, 'o', c='red') # rightmost point
x_plot = matplotlib.pyplot.plot([x_lm, x_rm], [y_lm, y_rm], linestyle=':', color='black', linewidth=0.5) # polygon's division line
x_plot = matplotlib.pyplot.plot(x, y, color='black', linewidth=1) # connect points by line in order of apperiance
matplotlib.pyplot.show()
def main(self, plot = False):
'First output is random polygon coordinates array (other stuff for ploting)'
print(self.array)
if self.array == None:
if not all(
[isinstance(min_rand_coord, int),
isinstance(max_rand_coord, int),
isinstance(points_num, int),]
):
print('Error! Values must be "integer" type:', 'min_rand_coord =',min_rand_coord, ', max_rand_coord =',max_rand_coord, ', points_num =',points_num)
else:
self.array = self.generate_random_points()
print(self.array)
x_lm, y_lm = self.find_leftmost_point()
x_rm, y_rm = self.find_rightmost_point()
line_points = [(x_lm, y_lm), (x_rm, y_rm)]
A_array, B_array, C_array = self.sort_array_into_A_B_C(line_points)
self.sort_and_merge_A_B_C_arrays(A_array, B_array, C_array)
self.close_line_to_polygon()
if plot:
self.show_image(self.array, line_points, A_array, B_array, C_array)
return self.array
if __name__ == "__main__":
# predefined polygon
array = [
(0, 0),
(2, 2),
(4, 4),
(5, 5),
(0, 5),
(1, 4),
(4, 2),
(3, 3),
(2, 1),
(5, 0),
]
array = None # no predefined polygon
min_rand_coord = 1
max_rand_coord = 10000
points_num = 30
crt = Create_random_polygon(array, min_rand_coord, max_rand_coord, points_num)
polygon_array = crt.main(plot = True)
===========
【讨论】：
这正是我需要的。你能用 javascript 重新定义代码吗？ @Harish 不幸的是，我只知道如何使用 Python 编写代码。 好的@Mr.车。感谢您的回复。 不，[(10, 20), (17, 5), (1, 16), (1, 14), (20, 8), (4, 7), (6, 9)] 创建相交多边形
[(1, 19), (12, 18), (10, 1), (1, 9), (5, 16), (10, 18), (2, 1)], [(13, 17), (15, 3), (14, 13), (11, 8), (7, 16), (7, 7), (10, 15)] 也失败了【参考方案8】：
我刚刚遇到了同样的问题，并想出了一些非常简单的解决方案，也是 n*log(n) 复杂度。
首先取图形内部的某个点，不管哪个，它是中心点是有意义的，无论是在最远点的中间还是在所有点的平均值（如重心） )。
然后根据从中心点看它们的角度对所有点进行排序。对于一个点和中心，排序键相当于 atan2。
就是这样。假设 p 是一个点数组 (x, y)，这就是 Python 代码。
center = reduce(lambda a, b: (a[0] + b[0], a[1] + b[1]), p, (0, 0))
center = (center[0] / len(p), (center[1] / len(p)))
p.sort(key = lambda a: math.atan2(a[1] - center[1], a[0] - center[0]))
【讨论】：
【参考方案9】：这是我对 Pawel Pieczul 的 answer 的 Typescript 实现，它非常适合我涉及简单多边形的用例：
interface Point
x: number,
y: number,
z?: number,
const getCentroid = (points: Point[]) =>
let centroid = x: 0, y: 0
for (let i = 0; i < points.length; i++)
centroid.x += points[i].x
centroid.y += points[i].y
centroid.x /= points.length
centroid.y /= points.length
return centroid
export const sortNonIntersecting = (points: Point[]) =>
const center = getCentroid(points)
return points.slice().sort((a: Point, b: Point) =>
const angleA = Math.atan2(a.y - center.y, a.x - center.x)
const angleB = Math.atan2(b.y - center.y, b.x - center.x)
return angleA - angleB
)
【讨论】：
【参考方案10】：我修改了Comrade Che中的代码 的answer 以避免在存在多个最左边或最右边的点时生成相交多边形（例如，[(10, 20), (17, 5), (1, 16), (1, 14), (20 , 8), (4, 7), (6, 9)])。主要变化是如果存在多个最左边或最右边的点，则与它们的y坐标进行比较并选择底部的一个作为最左边 或最右边的点。 以下是代码：
import random
from operator import itemgetter
import numpy
import matplotlib
import matplotlib.pyplot
class Create_random_polygon:
def __init__(self, array, min_rand_coord = None, max_rand_coord = None, points_num = None):
self.array = array
self.min_rand_coord = min_rand_coord
self.max_rand_coord = max_rand_coord
self.points_num = points_num
def generate_random_points(self):
random_coords_list = []
for x in range(self.points_num):
coords_tuple = (random.randint(self.min_rand_coord, self.max_rand_coord),
random.randint(self.min_rand_coord, self.max_rand_coord))
random_coords_list.append(coords_tuple)
self.array = random_coords_list
return random_coords_list
def close_line_to_polygon(self):
a = self.array[0]
b = self.array[len(self.array)-1]
if a == b:
pass
else:
self.array.append(a)
def find_leftmost_point(self):
leftmost_point = None
leftmost_x = None
leftmost_y = None
for point in self.array:
x = point[0]
y = point[1]
if (leftmost_x == None) or (x < leftmost_x) or (x == leftmost_x and y < leftmost_y):
leftmost_x = x
leftmost_y = y
leftmost_point = point
return leftmost_point
def find_rightmost_point(self):
rightmost_point = None
rightmost_x = None
rightmost_y = None
for point in self.array:
x = point[0]
y = point[1]
if (rightmost_x == None) or (x > rightmost_x) or (x == rightmost_x and y < rightmost_y ):
rightmost_x = x
rightmost_y = y
rightmost_point = point
return rightmost_point
def is_point_above_the_line(self, point, line_points):
"""return 1 if point is above the line
return -1 if point is below the line
return 0 if point is lays on the line"""
px, py = point
P1, P2 = line_points
P1x, P1y = P1[0], P1[1]
P2x, P2y = P2[0], P2[1]
array = numpy.array([
[P1x - px, P1y - py],
[P2x - px, P2y - py],
])
det = numpy.linalg.det(array)
sign = numpy.sign(det)
return sign
def sort_array_into_A_B_C(self, line_points):
[(x_lm, y_lm), (x_rm, y_rm)] = line_points
A_array, B_array, C_array = [], [], []
for point in self.array:
x, y = point
sing = self.is_point_above_the_line( (x, y), line_points)
if sing == 0:
C_array.append(point)
elif sing == -1:
A_array.append(point)
elif sing == 1:
B_array.append(point)
return A_array, B_array, C_array
def sort_and_merge_A_B_C_arrays(self, A_array, B_array, C_array):
A_C_array = [*A_array, *C_array]
A_C_array.sort(key=itemgetter(0))
B_array.sort(key=itemgetter(0), reverse=True)
merged_arrays = [*A_C_array, *B_array]
self.array = merged_arrays
def show_image(self, array, line_points, A_array, B_array, C_array):
[(x_lm, y_lm), (x_rm, y_rm)] = line_points
x = [x[0] for x in array]
y = [y[1] for y in array]
Ax = [x[0] for x in A_array]
Ay = [y[1] for y in A_array]
Bx = [x[0] for x in B_array]
By = [y[1] for y in B_array]
Cx = [x[0] for x in C_array]
Cy = [y[1] for y in C_array]
matplotlib.pyplot.plot(Ax, Ay, 'o', c='orange') # below the line
matplotlib.pyplot.plot(Bx, By, 'o', c='blue') # above the line
matplotlib.pyplot.plot(Cx, Cy, 'o', c='black') # on the line
matplotlib.pyplot.plot(x_lm, y_lm, 'o', c='green') # leftmost point
matplotlib.pyplot.plot(x_rm, y_rm, 'o', c='red') # rightmost point
x_plot = matplotlib.pyplot.plot([x_lm, x_rm], [y_lm, y_rm], linestyle=':', color='black', linewidth=0.5) # polygon's division line
x_plot = matplotlib.pyplot.plot(x, y, color='black', linewidth=1) # connect points by line in order of apperiance
matplotlib.pyplot.show()
def main(self, plot = False):
'First output is random polygon coordinates array (other stuff for ploting)'
print(self.array)
if self.array == None:
if not all(
[isinstance(min_rand_coord, int),
isinstance(max_rand_coord, int),
isinstance(points_num, int),]
):
print('Error! Values must be "integer" type:', 'min_rand_coord =',min_rand_coord, ', max_rand_coord =',max_rand_coord, ', points_num =',points_num)
else:
self.array = self.generate_random_points()
print(self.array)
x_lm, y_lm = self.find_leftmost_point()
x_rm, y_rm = self.find_rightmost_point()
line_points = [(x_lm, y_lm), (x_rm, y_rm)]
A_array, B_array, C_array = self.sort_array_into_A_B_C(line_points)
self.sort_and_merge_A_B_C_arrays(A_array, B_array, C_array)
self.close_line_to_polygon()
if plot:
self.show_image(self.array, line_points, A_array, B_array, C_array)
return self.array
if __name__ == "__main__":
# predefined polygon
array = [
(0, 0),
(2, 2),
(4, 4),
(5, 5),
(0, 5),
(1, 4),
(4, 2),
(3, 3),
(2, 1),
(5, 0),
]
#array = [(10, 20), (17, 5), (1, 16), (1, 14), (20, 8), (4, 7), (6, 9)]
#array = [(1, 19), (12, 18), (10, 1), (1, 9), (5, 16), (10, 18), (2, 1)]
#array = [(13, 17), (15, 3), (14, 13), (11, 8), (7, 16), (7, 7), (10, 15)]
array = None # no predefined polygon
min_rand_coord = 1
max_rand_coord = 10000
points_num = 30
crt = Create_random_polygon(array, min_rand_coord, max_rand_coord, points_num)
polygon_array = crt.main(plot = True)
【讨论】：
【参考方案11】：Flutter 和 Dart 开发人员可以使用它。我正在使用它来修复用户选择的点以创建多边形。用户在地图上绘制多边形时，一般不会按顺序标注点。
示例结果： 左一用此法修正，右一未修正。
这是 Pawel 答案的 dart 实现；
LatLng findCentroid(List<LatLng> points)
double x = 0;
double y = 0;
for (LatLng p in points)
x += p.latitude;
y += p.longitude;
LatLng center = new LatLng(0, 0);
center.latitude = x / points.length;
center.longitude = y / points.length;
return center;
List<LatLng> sortVerticies(List<LatLng> points)
// get centroid
LatLng center = findCentroid(points);
points.sort((a, b)
double a1 = (radsToDegrees(Math.atan2(a.latitude - center.latitude, a.longitude - center.longitude)) + 360) % 360;
double a2 = (radsToDegrees(Math.atan2(b.latitude - center.latitude, b.longitude - center.longitude)) + 360) % 360;
return (a1 - a2).toInt();
);
return points;
num radsToDegrees(num rad)
return (rad * 180.0) / Math.pi;
【讨论】：
以上是关于创建穿过所有给定点的非相交多边形的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
用于查找从点到多边形的最小距离的 Javascript 代码（由 html 区域定义）