深度优先搜索的时间/空间复杂度

Posted 2023-02-19

【中文标题】深度优先搜索的时间/空间复杂度

【英文标题】：Time/Space Complexity of Depth First Search

【发布时间】：2016-07-28 12:56:12

【问题描述】：

我查看了其他各种 *** 答案，它们都与我的讲师在幻灯片中写的不同。

深度优先搜索的时间复杂度为 O(b^m)，其中 b 是 搜索树的最大分支因子，m是最大深度 的状态空间。如果 m 比 d 大得多，那就太糟糕了，但是如果搜索 树是“浓密的”，可能比广度优先搜索快得多。

他接着说..

空间复杂度为 O(bm)，即空间在动作长度上是线性的 顺序！只需要存储从根到叶的单个路径 节点，以及上每个节点的剩余未扩展兄弟节点 路径。

*** 上的Another answer 声明它是 O(n + m)。

【问题讨论】：

深度优先搜索和广度优先搜索是通用术语，可以指代很多算法，例如搜索树或对游戏状态进行蛮力搜索。

【参考方案1】：

时间复杂度：如果您可以在 O(1) 时间内访问每个节点，那么在分支因子为 b 且最大深度为 m 的情况下，这棵树中的节点总数将是最坏的情况= 1 + b + b² + … + b^m-1。使用对几何序列求和的公式（甚至我们自己求解）告诉这个总和为 = (b^m - 1)/(b - 1)，导致访问每个节点的总时间成正比到 b^m。因此复杂度 = O(b^m).

另一方面，如果你有节点数n而不是使用分支因子和最大深度，那么你可以直接说复杂度将与n 或等于 O(n)。

您在问题中链接的其他答案同样使用不同的术语。这个想法在任何地方都是一样的。一些解决方案也添加了边数以使答案更精确，但一般来说，节点数足以描述复杂性。

---

空间复杂度：最长路径的长度 = m。对于每个节点，您必须存储其兄弟节点，以便当您访问了所有子节点并返回父节点时，您可以知道接下来要探索哪个兄弟节点。对于沿路径的 m 个节点，您必须为 m 个节点中的每一个额外存储 b 个节点。这就是你获得 O(bm) 空间复杂度的方式。

【讨论】：

如果兄弟姐妹存储在数组/链表中，则可以只保留数组索引/指向链表第一个元素的指针，这使得空间复杂度为O(m)。跨度>

@Witiko：这绝对正确。我应该在答案中写下这样一个巨大的改进是可能的。只是当提问者只想知道复杂性如何像 O(bm) 这样的东西时，并没有这样想。

【参考方案2】：

复杂度为O(n + m)，其中n 是树中的节点数，m 是边数。

您的老师之所以将复杂性表示为O(b ^ m)，可能是因为他想强调深度优先搜索和广度优先搜索之间的区别。

使用 BFS 时，如果与深度相比，您的树的扩展量非常大，并且您希望在叶子上找到结果，那么显然 DFS 在这里更有意义，因为它到达叶子的速度比BFS，即使它们都在相同的时间内到达最后一个节点（工作）。

当树非常深，并且非叶子可以提供有关更深节点的信息时，BFS 可以检测修剪搜索树的方法，以减少找到目标所需的节点数量。显然，您发现可以修剪子树的树越高，您可以跳过的节点就越多。 当您使用 DFS 时，这更难，因为您优先考虑到达叶子而不是探索更接近根的节点。

【参考方案3】：

我想这种 DFS 时间/空间复杂性是在 AI 课上讲授的，而不是在算法课上讲授的。

这里的DFS搜索树含义略有不同：

节点是一种记账数据结构，用于表示搜索 树。一个状态对应于世界的一个配置。 ... 此外，两个不同的节点可以包含相同的世界状态，如果 该状态是通过两个不同的搜索路径生成的。

引自《人工智能 - 一种现代方法》一书

所以这里的时间/空间复杂度集中在你访问节点并检查这是否是目标状态。 @displayName 已经给出了很清楚的解释。

虽然 O(m+n) 属于算法类，但重点是算法本身，当我们将图存储为邻接表时以及我们如何发现节点。