分析涉及按位运算和 2 次幂的算法？

Posted 2023-02-22

【中文标题】分析涉及按位运算和 2 次幂的算法？

【英文标题】：Analyzing an algorithm involving bitwise operations and powers of two?

【发布时间】：2016-02-07 19:03:47

【问题描述】：

我编写了一个程序，计算给定输入数中 2 的最大幂。例如，数字 26 中 2 的最大幂是 16，因为 2⁴ 是 16。这是算法：

uint power2( uint n )

   uint i = n;
   uint j = i & (i - 1);
   while( j != 0 )
   
      i = j;
      j = i & (i - 1);
   
   return i;

我在算法分析方面有些吃力。我知道我们正在尝试找出 Big-Oh、Big-Omega 或 Big-Theta 符号。为了分析算法，我们应该计算基本操作的数量？我的问题是我看到两行可能是基本操作。我在 while 循环外看到了 uint j = i & (i - 1) 行，我还在 while 循环内看到了 j = i & (i - 1)。我感觉while循环里面的肯定是基本操作，但是while循环外面的呢？

我纠结的另一部分是确定while 循环的主体将执行多少次。例如，如果我们有一个 for 循环 for(int i = 0; i < n; i++) ...，我们知道这个循环将执行 n 次。甚至在一个while循环while(i < n * n) ... i++我们知道这个循环将运行n * n次。但是对于这个 while 循环，它会因输入而异。例如，如果你传入的数字是 2 的幂，那么 while 循环将永远不会执行。但是，如果你传入一个非常大的数字，它会执行很多次。老实说，我不知道它会执行多少次。这就是我想要弄清楚的。谁能帮我理解这个算法发生了什么以及它运行的次数，比如O(n)或O(n^2)等？

【参考方案1】：

这是一个很好的算法示例，当您对它的作用有很好的直观理解而不是仅仅通过查看代码本身时，更容易推理它。

首先，i & (i - 1) 是做什么的？如果你把一个二进制写的数字减去一个，它的效果是

清除最低有效 1 位，并 将之后的所有位设置为 1。

例如，如果我们将二进制数1001000 (72) 减去一，我们得到1000111 (71)。请注意最低有效位 1 是如何被清除的，并且所有低于该位的位都被设置为 1。

当您将号码 i 与号码 i - 1 相加时会发生什么？好吧，i 和 i - 1 中最低有效 1 位以上的所有位都没有改变，但 i 和 i - 1 在 i 中最低有效 1 位或低于最低有效 1 位的所有位置上都不一致。这意味着i & (i - 1)具有清除数字i中最低1位的效果。

让我们回到代码。请注意，while 循环的每次迭代都使用此技术从数字j 中清除一个位。这意味着while循环的迭代次数与数字n中设置的1位数成正比。因此，如果我们让b代表n中设置的1位数，那么这个算法的运行时间就是Θ(b)。

如您所述，要了解该算法的最佳和最坏情况行为，如果 n 是 2 的完美幂，则运行时间为 O(1)。这和这将得到的一样好。在最坏的情况下，数字n 可能全为 1 位，在这种情况下，数字 n 中将设置 Θ(log n) 1 位（因为在二进制中，数字 n 需要 Θ(log n) 位写出来）。因此，最坏情况下的运行时间是 Θ(log n)。

总之，我们看到了

最佳情况下的运行时间是 O(1)， 最坏情况下的运行时间是 Θ(log n)，并且 确切的运行时间是 Θ(b)，其中 b 是 n 中设置的位数。

【讨论】：

如果这没有得到 A 级那么我不知道会怎样:-)

我现在了解最佳情况下的运行时间是 O(1)，但我仍然对最坏情况下的 Θ(log n) 感到困惑。你怎么知道是 log n？

@GenericUser01 我们知道内循环的运行时间与数字中设置的1位的数量成正比。因此，如果我们选择一个每个位都设置为 1 的数字，那么对于给定的位数，运行时间将尽可能大。我们在这里得到对数项的原因是二进制数 111...11（k 次）表示数字 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^k = 2^k+ 1 - 1。因此，设置了 k 位的数字的大小大约为 O(2^k)，这意味着 n 的大小比设置的位数呈指数级大。反转指数给出对数项。

@GenericUser01 一般而言，任何对数字will have time complexity O(log n) 中的每个数字或位执行 O(1) 的算法，其中 n 是所讨论的数字。

@templatetypedef 为什么我们需要反转 O(2^k)？为什么这不是算法的大哦？我知道运行时间取决于设置为1 的位数。我仍然很难看到这是如何登录的。我查看了另一个链接和除以 2 直到你得到一个小于或等于 1 的数字的例子是有道理的，但在这里我很难看到。