路径双覆盖，递归设置

Posted 2023-02-19

【中文标题】路径双覆盖，递归设置

【英文标题】：Path double cover, recursion set up

【发布时间】：2022-01-21 15:16:14

【问题描述】：

我正在处理路径双重覆盖问题。我有无向连通图 G，并且我将每条边更改为 2 条有向边，并且它们中的每一条都在相反的方向上。然后目标是在这个有向图中找到一组路径（无循环），以便每个顶点一次用作路径的起点，一次用作另一条路径的终点。每个有向边只使用一次。

undirected graph G directed graph G

对于这个例子，有一组路径 P=(1,2,4),(4,3,1),(2,1,3),(3,4,2)。

目前已知有 2 个图 K3 和 K5（具有 3 个和 5 个顶点的全连接图）不能用这种方式覆盖。

我想制作一个脚本，它会找到我这个封面或告诉我是否没有。我试图生成所有可能的路径，然后在它们中搜索，但对于更大的图形，这种方法不可用（n！复杂性）。我不知道如何设置递归，所以我可以跟踪我使用过的内容。我不在乎时间复杂度，但是如果您有任何提示可以更快地完成它，那就太棒了。 :D

感谢您的任何建议。 :D

【参考方案1】：

您的定义有点混乱-您说您需要在有向图中找到一组路径（无循环），每个顶点有 1 条出边。这些边没有办法不形成循环（最多n - 1边可以是树边）。

我将假设您的意思是“只有一个周期；没有子周期”。

在这种情况下，您的任务就是确定您的图表是否有Hamiltonian Cycle。

我们可以使用Ore's Theorem作为快速检查：

如果对于 G 的每一对不同的非相邻顶点 v 和 w，deg v + deg w ≥ n 则 G 是哈密顿量。

请注意，这表示“如果”而不是“iif”/“当且仅当”，因此图是哈密顿图，不满足此检查。

为了更进一步，我们可以使用Bondy–Chvátal theorem：

一个图是哈密顿的当且仅当它的闭包是哈密顿的。

我们以与 Ore 定理检查类似的方法获得它的闭包——我们重复添加一条新边，将不相邻的顶点对 u 和 v 与 deg(v) + deg(u) ≥ n 连接起来，直到不再有与此的对可以找到属性。

完成后，我们检查闭包是否为哈密顿量。如果闭包是complete graph，那么它就是哈密顿量。如果图 g 是哈密顿量，我无法找到任何证据证明闭包将是完整的，但是它似乎确实发生在我能想到的每个示例图上，因此至少它可能比 Ore 定理具有更强的相关性。

最后，你只需要确定图是否有哈密顿循环。我在上面列出了两种方法，你可以执行二次时间检查来肯定地识别一些这样的图（也许全部，再次 - 不确定闭包位的完整性）。

【讨论】：

这张图只是为了说明它可以是任何完整的图，如 K6 或任何二分图（已证明具有双重覆盖）

我不是指插图（我承认我直到刚才才看），我指的是：“那么目标是在这个中找到一组路径（没有循环）有向图”，因为您的解决方案中必须存在循环

如果你有 3 个顶点的路径图（如直线），则不必有循环 bcs，那么它有这个集合 P=(1,2,3),(3,2), (2,1) 它被证明可以在任何树上找到这种双重覆盖

@PatrikKula 我认为我们都误解了对方。我误解了部分问题——我们只考虑每条路径的开始/停止（我们可以重用中间顶点）。另一方面，您刚刚提供的反例创建了一个循环 (1->3->2->1...)。我坚持你的解决方案会产生循环的说法

是的，我认为我们是......我们可以重用顶点，但只能在不同的路径中，每个顶点必须是一次开始和结束顶点，并且每个有向边必须在整个路径集中使用一次。因此，如果我理解正确，那么我应该用有向图制作哈密顿循环，然后将其划分为路径，对吗？我不认为我们可以用 C4 做到这一点