以下两次重复的复杂性是不是相同？

Posted 2023-03-27

【中文标题】以下两次重复的复杂性是不是相同？

【英文标题】：Is complexity of the following two recurrances same?以下两次重复的复杂性是否相同？

【发布时间】：2018-07-21 16:57:18

【问题描述】：

我有两个重复关系：

T(n) = T(n/2) + c       // complexity O(logn)

T(n) = 2T(n/2) + c      // is the complexity O(logn)????

c 在这两种情况下都是一个常数，即我们在递归的合并部分做不断的工作。

第一次重复是二分搜索，我们不断丢弃数组的一半。

假设第二次重复从未排序的数组中找到最大元素，我们在每个步骤中将数组分成两部分，然后比较每个部分的结果以给出单个最大值。

在第一种情况下，我们没有遍历整个数组。在第二个中，我们正在遍历整体。现在，如果我为两者构建递归树，我将得到 O(logn) 的复杂度，因为两棵树的高度相同。如果我错了，请纠正我。这是我心中的困惑，所以请帮助我清除它。

【问题讨论】：

en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem_(analysis_of_algorithms)

主定理的情况是，当合并函数以 n 表示时。就我而言，它是恒定的，那么主定理如何适用？？

@Dukeling 是case 1而不是case 2，请纠正自己。

@JotWaraich 据我了解，这是一个非常简单的大师​​定理案例。搞清楚你的​​基础，伙计。

是的@Sumeet Singh 在提出问题后想通了。

【参考方案1】：

不是同样的复杂性。第二个类似于O(n)

查看此问题的一种简单方法是修复c = 0 和T(1) = a（a 是一个常量）。

然后：

T(2) = 2T(1) = 2a
T(4) = 2T(2) = 4a
T(8) = 2T(4) = 8a
...
T(n) = n*a

您可以看到线性复杂度。

【讨论】：

如果我们构建它，它将指向登录复杂性。那怎么办？？

好吧，你可以做同样的推理：T(1) = a，T(2) = T(1)+c = a+c，T(4) = T(2)+c = a+2c，T(8) = T(4)+c = a+3c，...所以T(2^n) = a+nc ~ nc和T(n) = O(log_2(n))

实际上，使用递归树求解有两个步骤：构建树，然后在其中搜索。构建它的成本O(n*log(n))，甚至比线性还要糟糕。但是一旦树建立起来，每次你都可以在O(log(n))中搜索它。因此，这完全取决于您需要多久搜索结果。