nfa 与 dfa 的时间复杂度权衡

Posted 2023-02-25

【中文标题】nfa 与 dfa 的时间复杂度权衡

【英文标题】：time complexity trade offs of nfa vs dfa

【发布时间】：2011-06-02 14:42:23

【问题描述】：

我正在寻找关于哪个更好用以及在什么情况下在编译器中使用 nfa 或 dfa 的讨论。模拟 是什么？在编译器的什么情况下哪个更适合？

【问题讨论】：

我找到了其他人的答案..

时空权衡目标：给定 reg。 exp.r 和输入stringx，判断x 是否在L(r) 方法#1：使用Thompson 构造从r 构建NFAN，然后运行之前的算法¡ 可以在O(|r|) 时间内构造NFA。 ¡ N 最多有 |r| 的两倍状态，每个状态最多有两个转换，所以转换表是 O(|r|) 空间。 ¡ 以前的算法在O(|r|×|x|) 时间内接受或拒绝x

方法 #2：使用 Thompson 的构造构建 NFAN fromr，然后使用子集构造构建 DFAD fromN；然后使用上次的 DFA 算法来接受/拒绝 x ¡ D 最多可以有 2k 个状态，其中 k = # 个状态 in N. ''Worst-case'' string (a |b)*a (a |b)(a |b)...(a |b)：为什么？ ¡ DFA接受算法接受或拒绝x inO(|x|)

总结：Automaton Build Run NFA O(|r|) O(|r|×|x|) DFA O(2|r|) O(|x|) 所以使用第一种方法（NFA ) 用于快速搜索短文本字符串（例如，emacs 重新搜索） 使用第二种方法 (DFA) 用于长文本字符串上的较长搜索（例如，Unix grep 对多个文件） ''Lazy'' DFA 方法在fly，遇到状态/输入对缓存转换

我知道从具有 $r$ 个状态的 NFA 构建的 DFA 中的状态数量可能高达 $2^r$，但我不明白从具有 $r$ 个状态的 NFA 成本 $O(2^r)$。在 DFA 的每个输入符号上添加边的成本如何？构造的 DFA 是 $O(vertices) = O(edges)$ 吗？

【参考方案1】：

从 NFA 构建 DFA 的时间为 O(2^m)，其中 m 是节点数。 DFA 的运行时间为 O(n)，其中 n 是输入字符串的长度。这是因为给定字符串只有 1 条通过 DFA 的路径。 NFA 的构建时间应该是 O(m)，其中 m 是节点数 NFA 的运行时间为 O(m²n)，因为它是不确定的，并且计算机必须检查字符串中当前字符的所有可能路径。 （假设没有前瞻，它不知道下一个字符会是什么，所以它会陷入死胡同）

这些数字可能会给你一个简要的想法

【讨论】：

正如您所建议的那样，通过回溯运行 NFA 在最坏的情况下将花费 O(2^n)。幸运的是，有一些更智能的算法需要 O(mn) 时间，尽管它们不支持反向引用。 （一种实现是 Google 的 re2。）