形式语言与自动机NFA

Posted 2020-12-15 fennleo

正则语言

如果某个语言能被DFA识别，那么它就是正则的

例题1：

构造一个字母表为{0，1}的DFA，使其接受所有最多含有三个1的串。

例题2：

构造一个DFA，使其能够定义如下语言：

? L={010,1} $Sigma={0,1}$

处理不了的话，可以引入一个特殊状态——死状态Qdie,这是严格要求的DFA

不严格的DFA则通常只写有意义可以到达的边，不可处理的边省略不写

对应到转移表(迁移表)的话，严格要求的话我们通常在表中不可到位置写qdie；不严格要求的话，我们通常就直接在表中用空项，表示不可处理

例题3：

字母表是$Sigma={0,1}$，构造识别偶数个0和偶数个1的DFA.(DFA识别的一定是正则表达式，以后我就不说明了）

例题4：

$?L={w|win{0,1}^*}$且w 看做二进制数 能被5整除

例题5：

构造自动机DFA，让其能够识别正则串并且以01结尾的串

构造自动机DFA，让其能够识别正则串并且以101结尾的串

虽然DFA简单，但是表达能力不强，比如上述题，检测位数越多，状态图呈爆炸增长，$2^5$,$26$,$2^7$,这么多状态几乎不可能编程序检测。因此提升DFA能力非常有必要。

NFA

非确定性的有限自动机

这个机器允许我们去猜[option] ，也就是遇到同样一件事有几条路径。

DFA可以看成函数，一一映射

NFA则可以看成多值"函数"，一对多 NFA包含DFA

q3状态下，再继续读入0或者1，就"憋死了”

DFA里每一个输入都有明确的单一转移（1），NFA则就存在，转不成或者转的多(0，1，more)

面对NFA个多个路径，我们需要 遍历穷举

一般地，给出一个NFA，一个串，我们可以把所有的路径可以列出来，在列出来的所有路径中寻找happy path(我们需要的正确路径)。输入处理完，看是否是接受状态。

$delta_{NFA}$是一个一对多的函数

$delta_{DFA}$是一个一对一的函数

$delta(q_0,1)=q_0或q_1$ $delta(q_2,0)=空状态$ 这两个转移函数是NFA区别于DFA的最大不同

NFA遍历所有可能路径，有时候幸运，可能比较早找到happy path，有时候比较晚找到happy path；有时候则完全彻底遍历完，仍然找不到happy path，则拒绝这个串。

数学（形式）描述：

需要注意的是：

这个形式描述。(五元组中的其他4个形式描述与DFA差不太多)

因为$Sigma cup {varepsilon}$的定义方式，这种NFA通常叫做带$varepsilon$的NFA

正常的NFA，这里的定义应该是$Sigma$ 即可。

引入带$varepsilon$ 的NFA是为了更方便的构造，人为构造会更加方便。后面我会说

NFA和带$varepsilon$的NFA 用程序实现起来不如DFA那么方便，后面会引入怎么把NFA转换成DFA。这在实验中是非常有必要实现的。

如何使用NFA来处理串？也就是遍历状态，当w被处理完了，看是否有当前状态是否是终止状态。简单。不讲了

NFA的扩展转移函数

实际核心就是将 串=子串+一个字符

与DFA的扩展转移函数实际并无多大差别。略

例题：

最终是${q_0,q_2}$这个是接受状态(可能是有q2的原因，也就是其中有一个状态被接受就行)

最终的状态子集表达了所有的可能路径 。有一个状态accepted就可以啦

上面的严格数学定义：