在任意坐标周围找到半径为 r 的球体中的所有点

Posted 2023-02-22

【中文标题】在任意坐标周围找到半径为 r 的球体中的所有点

【英文标题】：Find all points in sphere of radius r around arbitrary coordinate

【发布时间】：2012-06-15 15:32:40

【问题描述】：

我正在寻找一种有效的算法，对于具有已知高度、宽度和长度的空间，给定一个固定半径 R，以及一个点列表 N，在该空间中具有 3 维坐标，将找到所有点在网格上任意点的固定半径 R 内。此查询将使用不同的点进行多次，因此昂贵的预处理/排序步骤以换取快速查询可能是值得的。这是我正在处理的应用程序的一个瓶颈步骤，所以任何时候我可以切断它都是有用的

到目前为止我尝试过的事情：

-朴素算法，遍历所有点并计算距离

-将空间划分为长度为 R 的立方体的网格，并将点放入其中。这样，对于每个点，我只需要查询直接相邻的存储桶。这有显着的加速

-我尝试使用曼哈顿距离作为启发式方法。也就是说，在桶内，在计算到任何点的距离之前，使用曼哈顿距离过滤掉那些不可能在半径 R 内的（即曼哈顿距离

编辑：为了比较距离，我使用平方距离来避免使用 sqrt 函数。

显然，我能加快多少速度会有一些限制，但我现在可以使用任何建议来尝试。

这在算法层面可能并不重要，但我正在使用 C 语言工作。

【问题讨论】：

sqrt() 是一个昂贵的函数。为了加快速度，您应该将另一边平方并进行比较。

我已经这样做了。将编辑问题以反映这一点，谢谢。

我发现问题陈述难以解析。您是否试图找到任意点的 R 内的点子集（在您称为 N 的列表中）？什么是“元素”——N 中的点？

这似乎是对的。我进行了编辑，以使问题中的术语更加自洽。

我还是不清楚。从查询到查询有什么变化？积分列表？球的中心？半径？上述所有的？您谈到预处理是为了优化多个查询，但不清楚什么是不变的。

【参考方案1】：

将积分存储在具有三个维度的 k-d tree 中可能会提高速度。这将使您在 O(log n) 摊销时间内进行搜索。

【讨论】：

kdtree sphere 查询需要 O(n^(1-1/d))，而不是 O(log(n))。

【参考方案2】：

不要比较半径，要比较半径的平方。原因是，如果两点之间的距离小于R，那么距离的平方小于R^2。

这样，当您使用距离公式时，您不需要计算平方根，这是一项非常昂贵的操作。

【参考方案3】：

我建议使用 K-D 树或 z 曲线： http://en.wikipedia.org/wiki/Z-order_%28curve%29

【参考方案4】：

Binary Indexed Tree 怎么样？ （参考Topcoder教程）可以扩展到n维，编码更简单。

【参考方案5】：

Nicolas Brodu's NEIGHAND 库完全按照您的意愿行事，改进了 bin-lattice 算法。

更多细节可以在他的文章中找到：Query Sphere Indexing for Neighborhood Requests

【参考方案6】：

[我可能误解了这个问题。我发现问题陈述难以解析。]

在过去，设计一种带有“早期输出”的算法通常是件好事，它会进行测试以避免更昂贵的计算。在现代处理器中，分支预测的失败通常是非常昂贵的，而这些早期测试实际上可能比完整计算更昂贵。 （确定的唯一方法是测量。）

在这种情况下，计算非常简单，因此可能最好避免构建数据结构或进行任何巧妙的早期检查，而是尝试优化、矢量化和并行化获得所需的吞吐量。

对于一个点 P(x, y, z) 和一个球体 S(x_s, y_s, z_s, radius)，隶属度检验为：

(x - x_s)^2 + (x - y_s)^2 + (z - z_s)^2 < radius^2

其中radius^2 可以为查询中的所有点预先计算一次（避免任何平方根计算）。这些计算都是独立的，您可以并行计算多个点。使用 SSE 之类的东西，您可能一次可以做四个。如果您有很多点要测试，您可以拆分列表并进一步并行处理多个内核的工作。

【讨论】：

这当然有效。这就是我所说的朴素算法。我敢肯定，如果我只做 1 个查询，那将是最快的。我遇到的问题是我在 100k-1m 点上进行 10k-100k 查询。这变成了一个非常昂贵的步骤，即使尽可能并行。因此，如果有一种数据结构可以加速单个查询，它可能会更快，即使初始构建成本很高。

我明白了。我对这个问题感到困惑。我认为点列表因查询而异。感谢您的澄清。