在给定函数的情况下找到具有最小权重的路径

Posted 2023-02-22

【中文标题】在给定函数的情况下找到具有最小权重的路径

【英文标题】：Finding the path with the minimum weight given a function

【发布时间】：2017-04-22 18:15:42

【问题描述】：

我得到了一个无向图 G = (V, E)、一个顶点 s 在 V 和一个函数 w:E->0,1。给定V 中的任何v，我需要返回路径的权重（路径的权重= 路径边缘的权重之和），最小权重从s 到v in @ 987654329@时间。。 这听起来像是一个我懒得解决的家庭作业问题（我不时收到这些回复），但我一直在努力解决这个问题，我非常感谢任何帮助或指导你可能有我。

【问题讨论】：

M. Thorup 有一个线性算法，但我找不到它的（非付费）描述......

【参考方案1】：

这个问题可以通过 BFS 算法的类比来解决，但是使用双端队列 (D) 而不是队列。算法对每个顶点使用“已标记”的标志列表，初始化为 false。将显示到 s 的距离，因此您可以存储它们或“即时”使用。

D 将存储对（顶点、距离标签）。

算法开始：

D 由 (s, 0) 初始化。

在每次迭代中，从距离标签 d 的 D（顶点 v）中提取前（头）顶点。

如果 v 已经标记为达到，则跳到下一次迭代。

否则，将 v 标记为已到达。现在 d 是 s 和 v 之间的正确距离。对于每个未到达的邻居（顶点 w），更新它的距离标签（d_w=d+dist(v,w)）并将 pair(w,d_w) 放在 D 的头部，如果 dist (v,w)=0 或者放到尾部，否则。

算法结束。

当您将所有顶点标记为已到达时，您可以存储它们的距离。可能所有未到达的顶点都有无穷远的距离。

工作时间为 O(|V|+|E|)，因为您只处理每个顶点和每条边（在 s 的连通分量中）一次。

算法的正确性可以通过到s的距离归纳来证明。