具有所需顶点的有向加权图

Posted 2023-02-22

【中文标题】具有所需顶点的有向加权图

【英文标题】：Directed Weighted Graph with required vertices

【发布时间】：2020-07-28 20:23:46

【问题描述】：

给定：一个有向加权图 G=(V, E)，一些顶点是红色的，一些是蓝色的，其余的是白色的，权重 Ti 是允许从任何红色顶点到任何顶点的最大权重蓝色顶点。

问题：创建一个算法，找到从源节点 S 到目标节点 T 的路径，该路径具有最小的权重，并且在到达顶点 T 之前，该路径在某个点从红色顶点到蓝色顶点的权重最多为 Ti。该算法应该有时间复杂度 O(n^3)

评论：我不知道如何开始，我认为这是 Dijkstra 算法的一些变体，我看到一些人谈论制作图表副本并连接副本，但除此之外，我不确定该算法的设置是什么样的。任何帮助将不胜感激。

【问题讨论】：

在发布之前，总结问题并提供详细信息和示例来描述您尝试过的内容。

如果存在从红色顶点通过白色顶点到蓝色顶点的路径，那么我认为只有当两个相关边的权重之和最多为 Ti 时才允许该路径。对吗？

是的，没错。如果最多为 Ti，则允许从红色顶点到蓝色顶点的任何路径。

【参考方案1】：

确实，您可以使用如下复制策略：

将图 G 复制到 G' 和 G"。将 G' 中的所有顶点标记为在 G 中，但带有撇号。所以在 G' 中有一个 S' 和一个 T'。同样，S" 和 T" 属于 G"。

让S为起始顶点，T"为目标。就目前而言，G, G' 和 G" 断开连接。但添加以下零权重，有向边：

从 G 中每个红色顶点 r 到其在 G' 中的镜像 r' 的边。 从 G' 中的每个蓝色顶点 b' 到 G" 中的镜像 b" 的边.

所以没有从 G" 到 G' 的路径，也没有从 G' 到 G 的路径，也不是从 G" 到 G。

现在在 S 中启动一个 Dijkstra 算法，为优先级队列中的每个条目添加一个额外的数据属性：G' 中由边累积的路径的权重 仅。我们称之为w'。这个 w' 在队列的优先级中没有任何作用。路径的 total 权重决定了优先级，这是 Dijkstra 算法中的标准。该算法不应扩展路径，从而 w' 将超过 Ti。除了该特定限制之外，该算法的所有其余部分都可以与标准 Dijkstra 算法保持一致。