将平面网格变形为球体

Posted 2023-02-22

【中文标题】将平面网格变形为球体

【英文标题】：Deforming plane mesh to sphere

【发布时间】：2016-09-11 20:34:25

【问题描述】：

早安，

目前我正在尝试将飞机弯曲成球体。 我已经准备好尝试Mercator projection 和lla to ecef。所以结果会延迟，但它不像球体（半球体）。 最成功的变体看起来像这样（更像是一个帐篷，而不是半个球体）：

Code for this tent (pastebin)。我正在使用three.js 进行渲染。

所以我正在寻求一些建议。我做错了什么？

【问题讨论】：

你试过用一张长方形的纸包一个球吗？那行不通，你需要做出妥协。

我认为this 和this 的答案包含一些有用的信息。

【参考方案1】：

使用球坐标系统。角度 long,lat 是平面中的 2D 线性 u,v 坐标，输出是 3D x,y,z。

将平面网格的顶点（点）转换为球面

我怀疑你在(x,y,z) 表格中得到了积分，所以你需要首先计算u,v。设U,V 是位于平面上的垂直单位基向量。它们可以通过在平面网格上减去 2 个点、归一化大小和利用叉积来确保垂直度来获得。所以：

u = `dot_product((x,y,z),U)` = x*U.x + y*U.y + z*U.z
v = `dot_product((x,y,z),V)` = x*V.x + y*V.y + z*V.z

现在转换为球体角度：

long=6.2831853*u/u_size_of_mesh
lat =3.1415926*v/v_size_of_mesh

最后在球面上计算新的(x,y,z)：

x = R*cos(lat)*cos(long)
y = R*cos(lat)*sin(long)
z = R*sin(lat)

网格

平面网格必须具有足够密集的点结构（足够多的三角形/面），否则球体将不会看起来应有的样子。另一个问题是平面网格确实有边，而球面没有。 Ti s 可能会在平面边缘连接的球体表面上产生外观/间隙。如果您想避免这种情况，您可以在平面网格的相对两侧的边缘之间添加面以填充间隙，或者完全丢弃您的网格并使用均匀的点网格重新采样平面。

如果您想完全重新采样您的网格，那么您可以做的最好的事情是首先创建常规球体网格，例如：

Sphere triangulation by mesh subdivision

然后通过逆过程计算平面上的对应点到#1，这样你就可以插值点的其他参数（如颜色、纹理坐标等）

[备注]

如果您想对此进行动画处理，则只需在原始平面点P0(x,y,z) 和相应的球体表面点P1(x,y,z) 之间使用线性插值，动画参数为t=<0.0,1.0>，如下所示：

P = P0 + (P1-P0)*t

如果t=0 则输出为平面网格，否则如果t=1 则输出为球体。介于两者之间的任何地方都是包装过程，因此以足够小的步长（如0.01）将t 增加到1 并在某个计时器中渲染...

[Edit1] U,V 基向量

想法很简单，获取2个非平行向量并改变其中一个，使其垂直于第一个但仍然在同一平面上。

取任何网格面

例如三角形ABC

在平面上计算 2 个非零非平行向量

这很简单，只需减去任意 2 对顶点，例如：

U.x=B.x-A.x
U.y=B.y-A.y
V.x=C.x-A.x
V.y=C.y-A.y

并让它们按大小单位划分，然后将它们除以它们的大小

ul=sqrt((U.x*U.x)+(U.y*U.y))
vl=sqrt((V.x*V.x)+(V.y*V.y))
U.x/=ul
U.y/=ul
V.x/=vl
V.y/=vl

使它们垂直

所以保留一个向量（例如U）并计算另一个向量，使其垂直。为此，您可以使用交叉产品。两个单位向量的叉积是垂直于两者的新单位向量。两种可能性中的哪一种仅取决于操作数的顺序（(U x V) = - (V x U)），例如：

// W is perpendicular to U,V
W.x=(U.y*V.z)-(U.z*V.y)
W.y=(U.z*V.x)-(U.x*V.z)
W.z=(U.x*V.y)-(U.y*V.x)
// V is perpendicular to U,W
V.x=(U.y*W.z)-(U.z*W.y)
V.y=(U.z*W.x)-(U.x*W.z)
V.z=(U.x*W.y)-(U.y*W.x)

W 只是一个临时向量（在图像中称为V'）顺便说一句，它是表面的法线向量。

大小和对齐方式

现在我没有关于你的网格的更多信息，我不知道它的形状、大小等...理想的情况是网格是矩形并且U,V 向量与其边缘对齐。在这种情况下，您只需按每个方向的矩形大小对坐标进行归一化（如左上图所示）。

如果您的网格不是这样，并且您通过这种方法从面计算U,V，那么结果可能根本不会与边缘对齐（它们可以旋转任意角度）...

如果这种情况无法避免（通过选择角面），那么形状的角点将沿每个边缘具有各种坐标限制，并且您需要以某种含义将它们插值或映射到正确的球面间隔（不能更具体，因为我不知道你到底在做什么）。

对于几乎是矩形的形状，有时可以将边缘用作U,V，即使它们彼此不完全垂直。

[Edit2] C++ 示例

如果你得到完美对齐的方形网格，Z 轴上有一些噪点（如高度图），那么这就是我将如何进行网格转换：

//---------------------------------------------------------------------------
struct _pnt // points
    
    double xyz[3];
    _pnt(); _pnt(_pnt& a) *this=a; ; ~_pnt(); _pnt* operator = (const _pnt *a)  *this=*a; return this; ; /*_pnt* operator = (const _pnt &a)  ...copy... return this; ;*/
    ;
struct _fac // faces (triangles)
    
    int i0,i1,i2;
    double nor[3];
    _fac(); _fac(_fac& a) *this=a; ; ~_fac(); _fac* operator = (const _fac *a)  *this=*a; return this; ; /*_fac* operator = (const _fac &a)  ...copy... return this; ;*/
    ;
// dynamic mesh
List<_pnt> pnt;
List<_fac> fac;
//---------------------------------------------------------------------------
void mesh_normals() // compute normals
    
    int i;
    _fac *f;
    double a[3],b[3];
    for (f=&fac[0],i=0;i<fac.num;i++,f++)
        
        vector_sub(a,pnt[f->i1].xyz,pnt[f->i0].xyz);    // a = pnt1 - pnt0
        vector_sub(b,pnt[f->i2].xyz,pnt[f->i0].xyz);    // b = pnt2 - pnt0
        vector_mul(a,a,b);                              // a = a x b
        vector_one(f->nor,a);                           // nor = a / |a|
        
    
//---------------------------------------------------------------------------
void mesh_init()    // generate plane mesh (your square with some z noise)
    
    int u,v,n=40;   // 40x40 points
    double d=2.0/double(n-1);
    _pnt p;
    _fac f;
    Randomize();
    RandSeed=13;
    // create point list
    pnt.allocate(n*n); pnt.num=0;               // preallocate list size to avoid realocation
    for (p.xyz[0]=-1.0,u=0;u<n;u++,p.xyz[0]+=d) // x=<-1.0,+1.0>
     for (p.xyz[1]=-1.0,v=0;v<n;v++,p.xyz[1]+=d)// y=<-1.0,+1.0>
        
        p.xyz[2]=0.0+(0.05*Random());           // z = <0.0,0.05> noise
        pnt.add(p);
        
    // create face list
    vector_ld(f.nor,0.0,0.0,1.0);
    for (u=1;u<n;u++)
     for (v=1;v<n;v++)
        
        f.i0=(v-1)+((u-1)*n);
        f.i1=(v-1)+((u  )*n);
        f.i2=(v  )+((u-1)*n);
        fac.add(f);
        f.i0=(v  )+((u-1)*n);
        f.i1=(v-1)+((u  )*n);
        f.i2=(v  )+((u  )*n);
        fac.add(f);
        
    mesh_normals();
    
//---------------------------------------------------------------------------
void mesh_sphere()  // convert to sphere
    
    int i;
    _pnt *p;
    double u,v,lon,lat,r,R=1.0;
    // I know my generated mesh is aligned so:
    double U[3]= 1.0,0.0,0.0 ;
    double V[3]= 0.0,1.0,0.0 ;
    for (p=&pnt[0],i=0;i<pnt.num;i++,p++)   // process all points
        
        // get the u,v coordinates
        u=vector_mul(p->xyz,U);
        v=vector_mul(p->xyz,V);
        // I also know the limits are <-1,+1> so conversion to spherical angles:
        lon=M_PI*(u+1.0);               // <-1.0,+1.0> -> <0.0,6.28>
        lat=M_PI*v*0.5;                 // <-1.0,+1.0> -> <-1.57,+1.57>
        // compute spherical position (superponate z to r preserve noise)
        r=R+p->xyz[2];
        p->xyz[0]=r*cos(lat)*cos(lon);
        p->xyz[1]=r*cos(lat)*sin(lon);
        p->xyz[2]=r*sin(lat);
        
    mesh_normals();
    
//---------------------------------------------------------------------------
void mesh_draw()    // render
    
    int i;
    _fac *f;
    glColor3f(0.2,0.2,0.2);
    glBegin(GL_TRIANGLES);
    for (f=&fac[0],i=0;i<fac.num;i++,f++)
        
        glNormal3dv(f->nor);
        glVertex3dv(pnt[f->i0].xyz);
        glVertex3dv(pnt[f->i1].xyz);
        glVertex3dv(pnt[f->i2].xyz);
        
    glEnd();
    
//---------------------------------------------------------------------------

我使用了我的动态列表模板，所以：

List<double> xxx; 与 double xxx[]; 相同 xxx.add(5); 将5 添加到列表末尾 xxx[7] 访问数组元素（安全） xxx.dat[7]访问数组元素（不安全但快速直接访问） xxx.num是数组实际使用的大小 xxx.reset() 清空数组并设置 xxx.num=0 xxx.allocate(100) 为 100 项目预分配空间

this的用法是这样的：

mesh_init();
mesh_sphere();

结果如下：

左边是生成的带有噪声的平面网格，右边是转换后的结果。

代码反映了上述所有内容 + 将 Z - 噪声添加到球体半径以保留特征。法线以标准方式从几何图形中重新计算。对于整个 TBN 矩阵，您需要拓扑中的连接信息并从中重新计算（或利用球体几何并从中使用 TBN。

顺便说一句，如果你想映射到球体而不是网格转换，你应该看看相关的QAs：

Normal mapping gone horribly wrong Bump-map a sphere with a texture map Applying map of the earth texture a Sphere make seamless height-map texture for sphere (planet) Convert satellite photos of Earth into texture maps on a sphere (OpenGL ES)

【讨论】：

如果可能的话，我需要对这部分进行解释：它们可以通过在平面网格上减去 2 点、归一化大小和利用叉积来确保垂直度来获得。而这两个参数：u_size_of_mesh 和 v_size_of_mesh

除了参数link 之外，我几乎创建了所有内容。现在我在 long (-6.975736996024239e-28) 上得到非常大的 e 数字

@Sergey95 添加了 [edit1] 和请求的信息。 -6.975736996024239e-28 几乎为零，根本不是一个大数字。如果需要弧度或度数，请检查您的 sin,cos 函数。还要检查您是否没有将浮点数四舍五入为整数，这两个是最常见的错误原因

谢谢。我成功了。现在，八分之一的球体由完美的方形平面网格构成，如下所示：image。代码如下所示：code

@Vlad 它是平面状态网格/网格的网格分辨率......所以你得到了一个类似矩形的点网格。所以u_size_mesh 是一侧的点数，v_size_mesh 是另一侧的点数