关于合取范式中的公式，下列哪项是正确的？

Posted 2023-04-12

【中文标题】关于合取范式中的公式，下列哪项是正确的？

【英文标题】：Which of the following is TRUE about formulae in Conjunctive Normal Form?

【发布时间】：2020-10-25 16:56:32

【问题描述】：

A.对于任何公式，都有一个真值赋值，其中至少有一半的子句评估为真。

B.对于任何公式，都有一个真值赋值，所有子句的计算结果都为真。

C.有一个公式，对于每个真值赋值，最多有四分之一的子句评估为真。

D.以上都不是。

我的疑问：我知道合取范式是和式的乘积，但是这个问题让我很困惑，请用简单的语言解释一下。

【问题讨论】：

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【参考方案1】：

我将展示 (A) 的两个证明。我们可以使用任何无法满足的公式快速折扣 (B)，例如 x ∧ ¬x。根据 (A) 的证明，我们还可以对 (C) 和 (D) 进行折现。

构造证明

假设我们在 CNF 中有一些公式。让我们检查任何命题变量（或术语，或任何您想称呼它的名称），我们将其称为x。我们可以在三种不同的情况下考虑所有包含x 或¬x 的子句：

如果x 出现在子句中而¬x 没有出现，我们知道如果x 被赋值为true，则子句将被满足，如果x 被赋值为false，则不会满足。

同样，如果¬x出现在子句中而x没有出现，我们知道如果x被赋值为假，则该子句将被满足，如果x被赋值为真，则不会满足。

如果子句中同时出现x 和¬x，则任何赋值都将满足该子句。

如果 case 1 的子句多于 case 2，则将 true 赋值给 x 将满足至少一半的考虑子句。如果 case 2 的子句多于 case 1，则将 false 分配给 x 将至少满足所考虑子句的一半。如果案例 1 和案例 2 的出现次数相同，那么对 x 的任何赋值都将满足至少一半的考虑子句。

在剩下的子句中，我们可以对剩下的命题变量应用类似的算法，直到所有子句都至少有一个赋值变量，并且所有这些子句中至少有一半的结果为真。

期望值证明

考虑 CNF 中某个公式的任何子句。鉴于每个子句都是“总和形式”，所有组成文字只有一个赋值，这将导致子句评估为假。这意味着，对于具有 k 个文字的子句，有 2^k - 1 个组成文字的分配，这将导致子句评估为真。因为每个赋值都是独立等可能的，所以从句评估为真的预期概率是 (2^k - 1) / 2^k，即 1 - (1 / 2^k)。显然，对于任何正的 k 值，一个子句被任意真值赋值满足的概率至少是一半。

从某个任意子句被满足的概率，我们可以说被满足的子句的预期数量是每个子句被满足的概率之和。从这里，通过少量的数学我们可以得出结论，期望的满足条款的数量至少是条款总数的一半。因为必须至少有一个真值赋值至少满足这个数量的预期满足子句，所以我们可以得出结论，对于任何给定的公式，至少存在一个真值赋值，它满足至少一半的子句。

【讨论】：

优秀的答案基于假设条款至少有一个文字