数理逻辑命题逻辑的等值演算与推理演算 ( 命题逻辑 | 等值演算 | 主合取 ( 析取 ) 范式 | 推理演算 ) ★★

Posted 韩曙亮

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数理逻辑命题逻辑的等值演算与推理演算 ( 命题逻辑 | 等值演算 | 主合取 ( 析取 ) 范式 | 推理演算 ) ★★相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

文章目录



参考博客 :





一、 命题逻辑基本概念


命题逻辑基本概念

  • 命题逻辑联结词
  • 真值表
  • 命题逻辑类型 : 可满足式 , 永真式 , 永假式 ;

1 . 命题公式 组成 :

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果 A A A 是命题公式 , 则 ( ¬ A ) (\\lnot A) (¬A) 也是命题公式 ;

③ 如果 A , B A,B A,B 是命题公式 , 则 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \\land B) , (A \\lor B), (A \\to B), (A \\leftrightarrow B) (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )



2 . 联结词 :

原子命题 : p , q , r p , q , r p,q,r 表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;

  • 真 : 1 1 1 表示 命题真值 为真 ;
  • 假 : 0 0 0 表示 命题真值 为假 ;

联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;

  • 否定联结词 : ¬ \\lnot ¬
  • 合取联结词 : ∧ \\land ∧ , p ∧ q p \\land q p∧q , p q pq pq 同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;
  • 析取联结词 : ∨ \\lor ∨ , p ∨ q p \\lor q p∨q , p q pq pq 同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
  • 蕴涵联结词 : → \\to → , p → q p \\to q p→q , p p p 真 q q q 假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
  • 等价联结词 : ↔ \\leftrightarrow ↔ , p ↔ q p \\leftrightarrow q p↔q , p q pq pq 真值相同时为真 , 表示等价成立 , p q pq pq 真值相反时为假 , 等价不成立 ;

联结词优先级 :

“ ¬ \\lnot ¬” 大于 “ ∧ , ∨ \\land , \\lor ∧,∨” 大于 “ → , ↔ \\to, \\leftrightarrow →,↔”

∧ , ∨ \\land , \\lor ∧,∨ 优先级相同 ;

→ , ↔ \\to, \\leftrightarrow →,↔ 优先级相同 ;



3 . 命题逻辑类型 :

可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;

矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;

可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;

重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;



4 . 简单命题形式化 :

参考 : 复合命题 与 命题符号化

定义命题 : 使用 p , q p,q p,q 代表真假必居其一的陈述句 ;

使用联结词 : 然后使用联结词联结这些 p , q p,q p,q 命题 ;



参考博客 :





二、 等值演算


等值式概念 : A , B A , B A,B 是两个命题公式 , 如果 A ↔ B A \\leftrightarrow B A↔B 是永真式 , 那么 A , B A,B A,B 两个命题公式是等值的 , 记做 A ⇔ B A \\Leftrightarrow B A⇔B ;

等值演算置换规则 : A A A 和 B B B 两个命题公式 , 可以 互相代替 , 凡是出现 A A A 的地方都可以替换成 B B B , 凡是出现 B B B 的地方都可以替换成 A A A ;



基本运算规律 :

  • 1. 幂等律 : A ⇔ A ∨ A A \\Leftrightarrow A \\lor A A⇔A∨A , A ⇔ A ∧ A A \\Leftrightarrow A \\land A A⇔A∧A
  • 2. 交换律 : A ∨ B ⇔ B ∨ A A \\lor B \\Leftrightarrow B \\lor A A∨B⇔B∨A , A ∧ B ⇔ B ∧ A A \\land B \\Leftrightarrow B \\land A A∧B⇔B∧A
  • 3. 结合律 : ( A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C ) (A \\lor B ) \\lor C \\Leftrightarrow A \\lor (B \\lor C) (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C) , ( A ∧ B ) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C ) (A \\land B ) \\land C \\Leftrightarrow A \\land (B \\land C) (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)
  • 4. 分配律 : A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) A \\lor (B \\land C) \\Leftrightarrow ( A \\lor B ) \\land ( A \\lor C ) A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) , A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) A \\land (B \\lor C) \\Leftrightarrow ( A \\land B ) \\lor ( A \\land C ) A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)

新运算规律 :

  • 5. 德摩根律 : ¬ ( A ∨ B ) ⇔ ¬ A ∧ ¬ B \\lnot ( A \\lor B ) \\Leftrightarrow \\lnot A \\land \\lnot B ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B , ¬ ( A ∧ B ) ⇔ ¬ A ∨ ¬ B \\lnot ( A \\land B ) \\Leftrightarrow \\lnot A \\lor \\lnot B ¬(A∧B)⇔¬A∨¬B
    • 有了 与 ( ∧ \\land ∧ ) 非 ( ¬ \\lnot ¬ ) , 就可以表示 或 ( ∨ \\lor ∨ )
    • 有了 或 ( ∨ \\lor ∨ ) 非 ( ¬ \\lnot ¬ ) , 就可以表示 与 ( ∧ \\land ∧ )
  • 6. 吸收率 :
    • 前者将后者吸收了 : A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A A \\lor ( A \\land B ) \\Leftrightarrow A A∨(A∧B)⇔A
    • 后者将前者吸收了 : A ∧ ( A ∨ B ) ⇔ A A \\land ( A \\lor B ) \\Leftrightarrow A A∧(A∨B)⇔A ;

0 , 1 0 , 1 0,1 相关的运算律 :

  • 7. 零律 : A ∨ 1 ⇔ 1 A \\lor 1 \\Leftrightarrow 1 A∨1⇔1 , A ∧ 0 ⇔ 0 A \\land 0 \\Leftrightarrow 0 A∧0⇔0
    • 1 1 1 是或运算的 零元 , 0 0 0 是与运算的 零元 ;
    • 与 零元 进行运算结果是 零元 ;
  • 8. 同一律 : A ∨ 0 ⇔ A A \\lor 0 \\Leftrightarrow A A∨0⇔A , A ∧ 1 ⇔ A A \\land 1 \\Leftrightarrow A A∧1⇔A
    • 0 0 0 是或运算的 单位元 , 1 1 1 是 与运算的 单位元
    • 与 单位元 进行运算结果是其 本身
  • 9. 排中律 : A ∨ ¬ A ⇔ 1 A \\lor \\lnot A \\Leftrightarrow 1 A∨¬A⇔1
  • 10. 矛盾律 : 20145327寒假第一周学习总结

    人工智能原理复习 | 命题逻辑和谓词演算

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