2-CNF SAT如何在P中，而3-CNF SAT在NPC中？

Posted 2023-02-16

【中文标题】2-CNF SAT如何在P中，而3-CNF SAT在NPC中？

【英文标题】：How is 2-CNF SAT is in P, while 3-CNF SAT is in NPC?

【发布时间】：2012-01-18 01:19:15

【问题描述】：

我真的很困惑为什么 2-CNF SAT 在 P 中，而 3-CNF SAT 在 NPC 中。我读过 CLRS，我了解他们如何证明 3-CNF SAT 在 NPC 中。我不能使用从 SAT 到 2-CNF-SAT 的相同可还原性来证明 2-CNF-SAT 在 NPC 中。我不明白为什么 2-CNF SAT 在 P 中。

【问题讨论】：

请注意，P 是 NPC 的子集。证明 2-CNF SAT 在 P 中同时证明它在 NPC 中。

既然它在P里，它也在NP里，所以我必须努力展示它的NP，让它在NPC里，所以东西可能同时在P和NPC里？请回答

呃，是的，对不起，我回答得太快了，把 NP 和 NPC 混为一谈 :) 对不起 :) 当然不是 NPC。你理解的实际问题是你不能将SAT减少到2-SAT，减少会失败。

@antti.huima “请注意，P 是 NPC 的子集”。仅当 P=NP 时才成立。 P是NP的子集，我们不知道它是否是NPC的子集。

@Undreren 是的，你是对的。我不知道我在 12 月一直在想什么。

【参考方案1】：

为什么 2-CNF SAT 在 P

因为有一个多项式算法可以解决它。

证明的粗略草图：

请注意，2-CNF 中的任何子句都采用A => B 的形式，其中A 和B 是变量或它们的否定。因此，我们可以看出这个子句说当 A 为真时，它强制 B 为真。这也意味着B是假的，迫使A是假的。我们必须稍后考虑。

现在，您可以一个一个地取一个变量，并搜索它是否会传递地强制自己成为它的负数（A => B => C => ... => non A），反之亦然（non A => ... => A）。如果第一个为真，则 A 必须为假；如果是第二个，A 为真。如果两者都存在，则公式不可满足。

如果没有发现任何使公式不可满足的变量，则它是可满足的。

请注意，这种“残酷”算法并不是使用图的强连通分量的实际算法，我建议您继续阅读。然而，它是多项式的（对一个变量的搜索显然是 O(N^2)，因为考虑 O(N) 子句一次强制一个变量，并且考虑 O(N) 个变量，这意味着算法是多项式的） .请注意，我们在一个子句中最多有两个文字这一事实至关重要。如果子句是A => B or C 之类的，就不会那么好用了。

【讨论】：

你是怎么想出来的，我对此有点迷茫，我只是在关注这本书，我只是想知道这一点还是从书中接受它。我的意思是，如果它是在测试中给出的，我可能会尝试证明它的 NPC，（从 SAT 或 3-CNF-SAT 减少它）。如果他们像我一样在 P 中展示它，我会完全迷路

【参考方案2】：

从 CNF SAT 到 3-CNF SAT 的规范简化是采用像 lit_1 OR lit_2 OR ... OR lit_n 这样的子句，并用两个子句 lit_1 OR lit_2 OR ... OR lit_floor(n/2 ) OR var, lit_floor(n/2) + 1 OR ... OR lit_n OR NOT var。如果您尝试以这种方式破解一个包含三个文字的子句，您将得到另一个包含三个文字的子句，因此相同的证明不适用于 2-CNF SAT（并且可能有充分的理由）。