2-SAT

Posted 2020-10-12

2-SAT

　　2-SAT 问题：给 $n$ 个布尔变量 $f_1, f_2, ..., f_n$ ，以及 $m$ 个二元限制条件，问是否存在解、构造一组特殊解。

 

　　构建一个由 $n$ 个点对的图 $G$ 。

　　点：将 $f_x$ 拆成两个点 $x, x‘$ ，选择点 $x$ 表示 $f_x = 1$ ，选择点 $x‘$ 表示 $f_x = 0$ 。

　　边：若 $p \rightarrow q$ ，则点 $p$ 向点 $q$ 连一条有向边。

　　问题变为：对一个左右对称的图 $G$ ，在每个点对中选择 $1$ 个点，使得对于每个被选择的点，它的所有后继都被选择。

 

　　举个例子，$f_x ~ or ~ f_y$ 如何连边？

　　$f_x ~ or ~ f_y \Leftrightarrow x‘ \rightarrow y, y‘ \rightarrow x$

　　必要性：当 $f_x = 0$ 时，$f_y = 1$ ，对应 $x‘ \rightarrow y$ ，取逆否关系得 $y‘ \rightarrow x$ 。

　　充分性：反设 $f_x ~ or ~ f_y = 0$ ，则 $f_x = f_y = 0$ ，与 $x‘ \rightarrow y$ 矛盾。

　　由构图方式得知图 $G$ 左右对称。

 

　　将 $G$ 用 Tarjan 算法缩点，得到新图 $G‘$ 。

　　由于 $G$ 左右对称，由 $n$ 个点对组成，所以 $G‘$ 左右对称，由若干个点对组成。

　　设 $G$ 中点 $u$ 在 $G‘$ 中对应点 $p_u$ ，对 $G‘$ 的每一个点 $x$ 根据退栈顺序标号为 $L_x$ 。

 

　　标号引理：若 $x, y \in G‘$ ，则 $L_x > L_y$ 。

　　根据 Tarjan 算法，$y$ 一定在 $x$ 之后退栈，所以 $L_x > L_y$ 。

 

　　2-SAT 定理：2-SAT 问题有解，当且仅当对于任意标号 $x$ ，$p_x \ne p_{x‘}$ 。

　　记 $A$ 为 “ 2-SAT 问题有解 ” ，$B$ 为 “ 对于任意标号 $x$ ，$p_x \ne p_{x‘}$ ” ，只需要证明 $\neg B \Rightarrow \neg A$ 且 $A \Rightarrow B$ 。

　　先证明 $\neg B \Rightarrow \neg A$ 。当存在点 $x$ ，$p_x = p_{x‘}$ 时，选择了点 $x$ 必须要选择点 $x‘$ ，选择了点 $x‘$ 必须要选择点 $x$ ，无解。否则对于任意的点 $x$ ，保证 $x$ 和 $x‘$ 不在同一个强连通分量内。

　　再证明 $A \Rightarrow B$ 。首先如果强连通分量中的某个点被选择了，则这整个强连通分量都要被选择。所以现在的问题变为：对 $G‘$ 的每个点对选择一个点，满足若一个点被选择，那么它的所有后继都要选择。考虑构造性证明有解：对 $x \in G‘$ ，选择 $L_x$ 与 $L_{x‘}$ 中较小的点。反设 $x \Rightarrow y$ ，$x$ 被选择，$y$ 没有被选择，则可以推出矛盾：

　　$\begin{aligned} L_x & < L_{x‘} & 选择了 x 而不是 x‘ \\ & < L_{y‘} & 对称性，标号引理 \\ & < L_y & 选择了 y‘ 而不是 y \\ & < L_x & 标号引理 \end{aligned}$

　　综上，2-SAT 问题有解，当且仅当对于任意标号 $x$ ，$p_x \ne p_{x‘}$ 。更多地，还找到了求 2-SAT 问题的一组解的线性做法：通过 Tarjan 算法求出 $L_{p_u}$ ，对于 $u \in G$ ，选择 $L_{p_u}$ 与 $L_{p_{u‘}}$ 中较小的。

 

　　对于一元限制条件 $f_x$ ，$f_x \Leftrightarrow x‘ \rightarrow x$ 。

　　必要性：当 $f_x$ 时，显然选择 $x$ ，所以若选择了 $x‘$ ，就要选择 $x$ ，钦定这种选法是非法的。

　　充分性：反设选择了 $x‘$ ，则要选择 $x$ ，而只能选择一个点，矛盾。

 

　　2-SAT 定理能否兼容一元限制条件？

　　对 $x \rightarrow x‘$ ，选择选择 $x‘$ 。而根据标号引理，$L_x > L_{x‘}$ ，根据 2-SAT 引理，我会选择 $x‘$ 。综上，二者得以统一！

 

逻辑命题

　　列几个与 2-SAT 相关的等值公式。

　　（1）$P \lor (Q \land R) = (P \lor Q) \land (P \lor Q)$

　　理解：$P$ 成立，或者 $Q, R$ 都成立，等价于 $P$ 或 $Q$ 成立，且 $P$ 或 $R$ 成立。

　　（2）$\neg (P \lor Q) = \neg P \land \neg Q$

　　理解：有一个成立都不行, 即两个都不成立.

 

练习

[CF 875C] National Property

　　题意

　　给定字符集大小 $m(m \le 100000)$ ，每种字符有两种字母：小写字母，大写字母。任意大写字母小于小写字母。

　　给定 $n(n \le 100000)$ 个总和不超过 $100000$ 的由小写字母组成的单词，问是否存在一种将某些小写字母替换成大写字母的方案，使得这 $n$ 个单词按照字典序排列。

　　分析

　　我观察到每种字母有两种选择：不改，改。这有点像经典的 two-sat 问题。

　　对于相邻两个字符串 $S$ , $T$ ，注意到相同的前缀不会影响，找到第一个不相同的位置，不妨设靠前的字符串的这个位置是 $x$ ，靠后的是 $y$ 。当 $x$ 不存在时，一定有 $S \le T$ ；当 $x$ 存在，且 $y$ 不存在时，一定有 $S > T$ ，矛盾；当 $x < y$ 时，若选择了 $x$ ，必须选择 $y$ ，若选择了 $y‘$ ，必须选择 $x‘$ ；当 $x > y$ 时，必须选择 $x‘$ 和 $y$ 。