砖在墙上的排列方式有几种？

Posted 2023-03-16

【中文标题】砖在墙上的排列方式有几种？

【英文标题】：Total number of ways in which the bricks can be arranged on the wall?

【发布时间】：2021-12-18 08:07:55

【问题描述】：

假设我们有一面n*3大小的墙，大小为1*3、2*3和3*3的砖块，砖块可以横向和纵向放置，总共有多少种排列方式用砖填墙？这个问题的递归关系是什么？

我认为是T(n) = T(n-1)+ 2T(n-2)+ 7T(n-3)，因为对于T(n-2)，我们有1x3+1x3 或2x3 所以2T(n-2)。对于三个，1x3+1x3+1x3、1x3+2x3 或 2x3+1x3 和水平相同，加上3x3 所以我们有7dp(n-3)，这是正确的吗？

谢谢！

【参考方案1】：

这几乎是正确的，但它高估了几个术语。例如，T(n-2) 的解 S 可以在其后添加两个垂直的 1-bricks 以成为 T(n) 的解。如果您在 S 之后添加一个 1-brick，它是 T(n-1) 的解决方案，因此您的 T(n-2) 和 T(n-1) 项中计算了 S + 两个 1-brick 的排列。

相反，想想 T(n) 的解 S 如何在右侧结束。您可以证明 S 的 (n-1) x 3 初始段对 T(n-1) 有效当且仅当 S 的最后一个块是垂直 1 块。 否则，S的(n-2) x 3初始段何时是S的最长有效初始段？恰好当 S 以垂直 2 块结束时（如果它以两个垂直 1 块结束，则最长有效初始段的长度为 n-1，我们已经计算过了）。

最后的情况是 n-3：计算出最后一个3 x 3 空间有多少种可能的配置，使得 S 的最长有效初始段的长度为 n-3。作为提示：答案，称为“c”，小于 7，正如您所展示的，它是 3 x 3 空间的所有配置的计数。这些为您提供了递归系数，T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c*T(n-3)，以及 n = 1、2 和 3 的适当基本情况。

【讨论】：

谢谢！我认为对于 T(n-3) 我们只能使用水平砖，总共有 4 种方式来填充3X3：111、12、21 和 3。所以c = 4。