矩阵快速幂基础知识

Posted 2020-11-10 王陸

一、 
先介绍以下矩阵的基础知识 
矩阵：有 n 行 m 列组成一个 n*m 的矩阵 

a.结合性 （AB)C=A(BC）．

b.对加法的分配性 （A+B)C=AC+BC，C(A+B）=CA+CB ．

c.对数乘的结合性 k(AB）=（kA)B =A(kB）．

d.关于转置 (AB)\'=B\'A\'．

1. 
矩阵的加减运算
满足的条件：两个矩阵的行、列 必须相同 
2. 
矩阵的乘运算 
满足的条件： 
 A矩阵的列数为 B矩阵的行数 
A(ms)*B(sn)=C(mn) 
得到的矩阵 C 是 m 行 n 列的 
其中 c[i][j] 为A 的第 i 行与B的第j 列对应乘积的和 
即： 

代码：

 1 const int N=100;  
 2 int c[N][N];  
 3 void multi(int a[m][s],int b[s][n])//n是矩阵大小，n<N  
 4 {  
 5     memset(c,0,sizeof c);  
 6     for(int i=1;i<=m;i++){  
 7         for(int j=1;j<=n;j++){
 8             for(int k=1;k<=s;k++){
 9                 c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  
10                 c[i][j]%=mod;//一定要在求和之后在　ｍｏｄ
11             }
12         }
13     }
14 }  

二、 
单位矩阵： 
在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。 
简记： I 或 E 
性质： 
1、根据矩阵乘法的定义，单位矩阵的重要性质为： 
AE=EA=A 
2、单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。 
3、因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和 等于迹数，单位矩阵的迹为 n

 

三、

快速幂的思想：

假设我们要求a^b，最朴素的方法就是不断地乘a，乘b次，复杂度O(b)。
如果b很大，10^9，就需要用快速幂的思想。
例：a=3，b=100；
100的二进制为：1100100
也就是100可以化成64+32+4。

所以原数可以化成a^64*a^32*a^4

算法流程：
判断1100100的每一位是否为1，如果是1，就乘对应的二进制次幂。以此类推，直到乘完全部的位数。

时间复杂度O(log n)

 1 /*一般快速幂的模板*/
 2 int quickpow(int a,int b){    
 3     ans=1;     
 4     while(b){    
 5         if(b&1) ans*=a;    
 6         a*=a;    
 7         b>>=1;    
 8     }    
 9     return ans;    
10 }    

（快速幂详解

https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/9125224.html）

四、

 

矩阵与DP

a[i]=a[i-1]+b[i-1]+1,b[i]=2*a[i-1]-5 ;a[1]=1,b[1]=1,问a[x]=?,b[x]=?
很简单的递推，一步步推即可，但是，如果x是10^9，如何推？
思维：递推式可以化为矩阵乘积

那么，矩阵A[i]=A[i-1]*B;
A[i+1]=A[i]*B=A[i-1]*B*B
A[x]=A[1]*B*B*B.......=A[1]*( B^(x-1) );
因为矩阵乘积可以换乘积顺序，所以可以先算出B^(x-1)，如何计算呢？
快速幂！

问题迎刃而解~

1.构造出递推矩阵
2.对构造出的矩阵B，进行B^x的快速幂，乘积换成矩阵乘法。
3.最后矩阵的第一行第一列和第二列就是a[x]和a[y]。

其实快速幂和矩阵快速幂是异曲同工,但是往往构造矩阵是难点，转载一个别人博客写的矩阵构造方法：

 

Fibonacci数列：F(0)=1 , F(1)=1 , F(n)=F(n-1)+F(n-2)

我们以前快速求Fibonacci数列第n项的方法是 构造常系数矩阵

（一）   Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项快速求法（不考虑高精度）

解法：

考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。根据Fibonacci数列的递推关系，我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A，得到矩阵：【f[n-1],f[n]】。

即：【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】

很容易构造出这个2×2矩阵A，即：
０ １ 
１ １

所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】
又因为矩阵乘法满足结合律，故有：
【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】
这个矩阵的第一个元素f[n]即为所求。

 

 

（二）   数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）

解法：
仿照前例，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩阵A，使得此1×3的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],1】

即：【f[n-2],f[n-1],1】* A ＝【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】

容易构造出这个3×3的矩阵A，即：
０ １ ０ 
１ １ ０ 
０ １ １

故：【f[1],f[2],1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】

 

（三）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）.
解法：
仿照前例，考虑1×4的矩阵【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩阵A，使得此1×4的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],n+1,1】
即：【f[n-2],f[n-1],n,1】* A  = 【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】
容易构造出这个4×4的矩阵A，即：
０ １ ０ ０ 
１ １ ０ ０ 
０ １ １ ０ 
０ １ １ １

故：【f[1],f[2],3,1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】

 

（四）   数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

仿照之前的思路，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我们希望通过乘以一个3×3的矩阵A，得到1×3的矩阵：【f[n-1],f[n],s[n-1]】
即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * A  = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】
容易得到这个3×3的矩阵A是：
０ １ ０ 
１ １ １ 
０ ０ １

这种方法的矩阵规模是(r+1)*(r+1)

f(1)=f(2)=s(1)=1 ，所以，有

【f(1),f(2),s(1)】* A  = 【f(2),f(3),s(2)】

故：【f(1),f(2),s(1)】* A^(n-1)  = 【f(n),f(n+1),s(n)】

 

（五）   数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

考虑1×5的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,
我们需要找到一个5×5的矩阵A，使得它乘以A得到如下1×5的矩阵【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】
即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* A  =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】

=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】
容易构造出A为：
０ １ ０ ０ ０ 
１ １ １ ０ ０ 
０ ０ １ ０ ０ 
０ １ ０ １ ０ 
０ １ ０ １ １

故：【f(1),f(2),s(1),3,1】* A^(n-1)  = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】

 

一般地，如果有f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s
可以构造矩阵A为：
0  q  0  0  0 
1  p  1  0  0 
0  0  1  0  0 
0  r  0  1  0 
0  s  0  1  1

 

更一般的，对于f[n]=Sigma(a[n-i]*f[n-i])+Poly(n)，其中0<i<=某常数c, Poly (n)表示n的多项式，我们依然可以构造类似的矩阵A来解决问题。
设Degree(Poly(n))=d, 并规定Poly(n)=0时，d=-1，此时对应于常系数线性齐次递推关系。则本方法求前n项和的复杂度为：
((c+1)+(d+1))3*logns

 

例如：A(0) = 1 , A(1) = 1 , A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2)；给定三个值N，X，Y求S(N):S(N) = A(0)2 +A(1)2+……+A(n)2。

解：

考虑1*4 的矩阵【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】

我们需要找到一个4×4的矩阵A，使得它乘以A得到1×4的矩阵

【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

即：【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】* A = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

= 【s[n-2]+a[n-1]^2 , x^2 * a[n-1]^2 + y^2 * a[n-2]^2 + 2*x*y*a[n-1]*a[n-2] ,

a[n-1]^2 , x*a[n-1]^2 + y*a[n-2]a[n-1]】

可以构造矩阵A为：

1     0    0    0

1    x^2   1    x

0    y^2   0    0

0    2xy   0    y

故：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n-1) = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

所以：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n) = 【s[n],a[n+1]^2,a[n]^2,a[n+1]*a[n]】

若A = (B * C ) 则AT = ( B * C )T = CT * BT

故