闭关修炼 动态规划1——最长公共子序列(UVA111)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了闭关修炼 动态规划1——最长公共子序列(UVA111)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

一: 作用

       最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度,是一个非常实用的算法,作为码农,此算法是我们的必备基本功。

二:概念

     举个例子,cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢?很显然有27个,比如其中的cb,cgs等等都是其子序列,我们可以看出

子序列不见得一定是连续的,连续的那是子串。

     我想大家已经了解了子序列的概念,那现在可以延伸到两个字符串了,那么大家能够看出:cnblogs和belong的公共子序列吗?

在你找出的公共子序列中,你能找出最长的公共子序列吗?

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从图中我们看到了最长公共子序列为blog,仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的,可能会有两个以上,

但是长度一定是唯一的,比如这里的最长公共子序列的长度为4。

 

三:解决方案

<1> 枚举法

       这种方法是最简单,也是最容易想到的,当然时间复杂度也是龟速的,我们可以分析一下,刚才也说过了cnblogs的子序列

个数有27个 ,延伸一下:一个长度为N的字符串,其子序列有2N个,每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配,匹配一次

需要O(N)的时间,总共也就是O(N*2N),可以看出,时间复杂度为指数级,恐怖的令人窒息。

 

<2> 动态规划

      既然是经典的题目肯定是有优化空间的,并且解题方式是有固定流程的,这里我们采用的是矩阵实现,也就是二维数组。

第一步:先计算最长公共子序列的长度。

第二步:根据长度,然后通过回溯求出最长公共子序列。

现有两个序列X={x1,x2,x3,...xi},Y={y1,y2,y3,....,yi},

设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度。

递推方程为:

技术分享

不知道大家看懂了没?动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景,可以有效的避免重复计算,根据上面的

公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度。

 

题目:不赘述,模板题

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;


int dp[25][25];
int a[25];
int x[25];
int main()
{
	int n,i,j;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		int b;
		scanf("%d",&b);
		a[b]=i;
	}

	int t;
	while(scanf("%d",&t)!=EOF)
	{
		x[t]=1;
		for(i=2;i<=n;i++)
		{
			int b;
			scanf("%d",&b);
			x[b]=i;
		}

		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			for(j=1;j<=n;j++)
			{
				if(a[i]==x[j])
					dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
				else
					dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
			}
		}

		printf("%d\\n",dp[n][n]);
	}
	return 0;
}

  

 

以上是关于闭关修炼 动态规划1——最长公共子序列(UVA111)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

动态规划 最长公共子序列

动态规划之----最长公共子序列

动态规划——最长公共子序列与最长公共子串 (含Python实现代码)

最长公共子序列(LCS)动态规划解题笔记

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动态规划-最长公共子序列