落谷 2196 挖地雷

Posted 2020-11-06

题面：

题目描述

在一个地图上有N个地窖（N<=20），每个地窖中埋有一定数量的地雷。同时，给出地窖之间的连接路径。当地窖及其连接的数据给出之后，某人可以从任一处开始挖地雷，然后可以沿着指出的连接往下挖（仅能选择一条路径），当无连接时挖地雷工作结束。设计一个挖地雷的方案，使某人能挖到最多的地雷。

输入输出格式

输入格式：

第1行只有一个数字，表示地窖的个数N。

第2行有N个数，分别表示每个地窖中的地雷个数。

第3行至第N+1行表示地窖之间的连接情况：

第3行有n-1个数（0或1），表示第一个地窖至第2个、第3个、…、第n个地窖有否路径连接。如第3行为1 1 0 0 0 … 0，则表示第1个地窖至第2个地窖有路径，至第3个地窖有路径，至第4个地窖、第5个、…、第n个地窖没有路径。

第4行有n-2个数，表示第二个地窖至第3个、第4个、…、第n个地窖有否路径连接。

… …

第n+1行有1个数，表示第n-1个地窖至第n个地窖有否路径连接。（为0表示没有路径，为1表示有路径）。

输出格式：

第一行表示挖得最多地雷时的挖地雷的顺序，各地窖序号间以一个空格分隔，不得有多余的空格。

第二行只有一个数，表示能挖到的最多地雷数。

输入输出样例

输入样例#1：

5
10 8 4 7 6
1 1 1 0
0 0 0
1 1
1

输出样例#1：

1 3 4 5
27

解题思路：

这个题乍一看是一个图论，其实可以用记忆化搜索（因为数据范围很小··）

但可以注意到这个挖地雷的过程有一个特点，那就是最后停止的地方一定是最后一个点。并且若一个点编号为 \(x\) ，使得 \(\forall s \in A ,A=\{1...x-1\}\) 不存在 \(x\) 到 \(s\) 的通路。那么就可以发现这个过程是符合动态规划的特点的，所以可以考虑用 \(dp\) 求解。

\(dp[i]\) 表示以 \(i\) 为起点所能挖到的地雷数量。状态更新的情况为： 若当前的点 \(a\) 到 \(b\) 点存在通路，那么就可以有 \(dp[b] = max(dp[b],dp[a]+w[b])\)

最后的答案就在所有情况更新完之后在 \(dp\) 数组中求一个 \(max\) 了。

这里还需要记录一下最大的值所在的下标 \(pos\) ，后面有用。

如何求路径 ：

如何求路径是本题比较关键的一个点。对于记忆化搜索来说，比较容易处理，但对于 \(dp\) 来说就需要一些技巧了。

我们可以发现，之前求得的 \(ans-w[pos]\) 就是第二个点的时候所能挖的地雷数，和 \(dp\) 中进行比较看那个与上面算出来的值相等 且这两个点之间存在通路

最后拿一个数组记录就好了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=22;
typedef long long ll;
int g[maxn][maxn];
int w[maxn],road[maxn];
ll dp[maxn];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    //freopen("mine.in","r",stdin);
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>w[i];
    for(int i=1;i<n;++i)
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
            cin>>g[j][i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        dp[i]=w[i];
    for(int i=n;i>=1;--i){
        for(int j=i;j>=1;--j)
            if(g[i][j]){
                dp[j]=max(dp[j],dp[i]+w[j]);
            }
    }
    int cnt=1,now=0,pos=-1,ans;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(now<dp[i]){
            now=dp[i];
            pos=i;
        }
    }
    ans=now;
    //求路径
    while(now>0)
    {
        now-=w[pos];
        road[cnt++]=pos;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            if(now==dp[i]&&g[i][pos]){
                now=dp[i];
                pos=i;
            }
    }
    for(int i=1;i<cnt;++i)
        cout<<road[i]<<" ";
    cout<<endl;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}