欧拉项目第五题

Posted 2020-11-05 shuaihui

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了欧拉项目第五题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

题目：

2520是最小的能被1-10中每个数字整除的正整数。

最小的能被1-20中每个数整除的正整数是多少？

分析：

解题方法

题目的实质是求几个数的最小公倍数。

任何一个正整数都可以表示成几个素数的次方的乘积

假设 $P_{n}$

N u m = P k 1 1 P k 2 2 P k 3 3 ? P k

一个整数要能被1-10的所有整数整除，那么就等同于他能被1-10之间的所有素数整除。那么此时：

2520 = 2 k 1 \times 3 k 2 \times 5 k 3 \times 7 k 4

$K_{n}$

2520 = 2 3 \times 3 2 \times 5 \times 7

$K_{n}$

N u m = 2 k 1 \times 3 k 2 \times 5 k 3 \times 7 k 4 \times 11

$K_{n}$

232792560 = 2 4 \times 3 2 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19

那么这些素数的次方怎么求呢？以2为例子，我们先假设pow(2,x)=20,两边同时乘于log10,则x=log10(20)/log10(2);

#include<stdio.h> #include<math.h> int POW(int a,int b) { int ans=1; for(int i=1 ; i<=b ; i++) ans=a*ans; return ans; } int main( ) { int p[10]={0,2,3,5,7,11,13,17,19}; int a[30]; int k=20; int N=1; int i=1; bool op=true; int li=sqrt(k); while(p[i]<=k) { a[i]=1; if(p[i]<=li) { a[i]=floor(log(k)/log(p[i])); } i = i+1; } for(int i=1 ; i<=8 ; i++) { N=N*POW(p[i],a[i]); } printf("%d\n",N); } View Code

题目的实质是求几个数的最小公倍数。

任何一个正整数都可以表示成几个素数的次方的乘积

假设 $P_{n}$ 表示第n个素数，那么任意正整数可以通过下面的式子获得：

N u m = P k 1 1 P k 2 2 P k 3 3 ? P k n n, n \in N + ， k n \in N

一个整数要能被1-10的所有整数整除，那么就等同于他能被1-10之间的所有素数整除。那么此时：

2520 = 2 k 1 \times 3 k 2 \times 5 k 3 \times 7 k 4

$K_{n}$ 的取值要保证最终值可以被所有含 $P_{n}$ 约数的数整除。以 $P_{1} = 2$ 举例，注意到8是含有约数2的最大整数，所以 $K_{1} = 3$ 。同理求得其它的k值。最终得到以下式子：

2520 = 23 \times 32 \times 5 \times 7

那么对于能被1-20的所以整数整除的数，它可以表示成如下形式：

N u m = 2 k 1 \times 3 k 2 \times 5 k 3 \times 7 k 4 \times 11 k 5 \times 13 k 6 \times 17 k 7 \times 19 k 8

最终求得：

232792560 = 24 \times 32 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19

以上是关于欧拉项目第五题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章