LICS O（n*m）+前驱路径

Posted 2020-11-04 *Miracle*

LICS：最长公共上升子序列；

一般令f[i][j]表示a串前i位，b串以j结尾的LICS长度。于是，答案为：max(1~m)(f[n][i]);

朴素做法：O(n^3) 相等时，从1~j-1枚举最大值。

for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=1;j<=m;j++)
  {if(a[i]!=b[j]) f[i][j]=f[i-1][j];
   else if(a[i]==b[j]) 
    for(int k=1;k<j;k++)
        if(b[k]<b[j]) f[i][j]=f[i-1][k];
       }

算法时间复杂度改进思路主要从优化第三层（k）复杂度入手。

升级做法: O(n^2logn) 利用树状数组记录f[i-1][1~j-1]最大值； 数组下表记录的是b串数值。 （第一个j循环预处理，并且更新上一次的成果）需要：树状数组和离散化。

int mx[]
for(int i=1;i<=n;i++)
{
 for(int j=1;j<=m;j++)
 {mx[j]=query(b[j]-1)//0~b[j]-1 这些数中的f最大值
 modify(b[j],f[i-1][j])//将上一轮求出的f尝试更新
 }
 for(int j=1;j<=m;j++)
  if(a[i]==b[j]) f[i][j]=mx[j]+1;
  else f[i][j]=f[i-1][j]; 
}

其实这样很麻烦。 复杂度中等，还需要离散化，求具体子序列还要还原。

终极做法：O(n^2) 考虑到，每次进行j循环时，i不动，a[i]的值暂时不变。所以只需边求边记录最大值即可。 直接省掉k层循环。

for(int i=1;i<=n;i++)
 {
  int mx=f[i-1][0];
  for(int j=1;j<=m;j++)
   if(a[i]!=a[j])
    f[i][j]=f[i-1][j]
   else 
    f[i][j]=mx+1;
   if(b[j]<a[i])//j即将变成j+1，尝试更新mx（只有b[j]<a[i]才可以保证上升）
    mx=max(mx,f[i-1][j])
 }

poj 2127 至于要求具体子序列时，需要记录使之更新的前驱，即path[i][j]=某个位置bj； 因为是“以j结尾”，所以记录bj。输出时输出b[bj]；

详见代码： ai,aj记录使答案成为ans的第一个位置。 故可以直接输出b[aj];

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=505;
int f[N][N],path[N][N];
int mj,mx,sum,ai,aj;
int ans[N];
int n,m;
int a[N],b[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
     scanf("%d",&a[i]);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
     scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
     mx=0;
     for(int j=1;j<=m;j++)
     {
        f[i][j]=f[i-1][j];
        path[i][j]=-1;
        if(b[j]<a[i]&&f[i-1][j]>mx)
        {
            mx=f[i-1][j];
            mj=j;   
        }
        else if(a[i]==b[j])
        {
            f[i][j]=mx+1;
            path[i][j]=mj;      
        }       
        if(sum<f[i][j])
        {
            sum=f[i][j];
            ai=i;
            aj=j;   
        }   
     }  
    }
    printf("%d\\n",sum);
    int tmp=sum;
    while(tmp)
    {
        if(path[ai][aj]>-1)
        {
            ans[tmp--]=b[aj];
            aj=path[ai][aj];    
        }
        ai--;   
    }
    for(int i=1;i<=sum;i++)
     printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}

纯手打。 参考：https://www.cnblogs.com/dream-wind/archive/2012/08/25/2655641.html